[線段樹系列]幾道不錯的線段樹題目題解

時間 2019-11-12

標籤線段系列道不錯的題目題解简体版

原文原文鏈接

Hello，我回來更新線段樹系列了。c++

因爲目前鴿掉的文章有點多...因此只能慢慢填坑了。數組

最近聯賽複習的時候寫了幾道以爲不錯的線段樹題，正好能夠回來填個坑。數據結構

首先咱們來看看這道題：LuoguP4145
ui

這道題須要咱們寫一個數據結構，支持下面兩種操做：
1. 區間開平方 2. 區間求和spa

能夠區間開平方的數據結構其實沒有（別跟我說Chtholly Tree，這題沒有區間賦值用不了...）。code

可是咱們注意到題目中說的：向下取整。並且咱們還能夠發現，數列中的數大於0，小於$10^{12}$。blog

咱們知道sqrt(1)=1。也就是說當咱們開方開到1的時候，咱們就不用對那段區間進行修改了。排序

經計算，咱們僅須要最多6次開方操做，就能把數列中的全部數開方到1，那咱們直接單點修改就行了。get

維護區間和的同時維護一下區間最值，只有區間最值>1咱們才進入修改，不然咱們就跳過它。it

給出代碼（我寫的動態開點線段樹...最近比較喜歡寫這個，固然你用普通線段樹也是能夠秒這道題的）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
inline int read(){
    int data=0,w=1;char ch=0;
    while(ch!='-' && (ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
    if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
    while(ch>='0' && ch<='9')data=data*10+ch-'0',ch=getchar();
    return data*w;
}
const int N=1e5+10;
struct Segment_Tree{
    int l,r;
    int sum,mx;
    #define lc(x) tree[x].l
    #define rc(x) tree[x].r
    #define sum(x) tree[x].sum
    #define mx(x) tree[x].mx
}tree[N<<2];
int ncnt,rt;
int n,a[N],m;
inline int insert(){
    ncnt++;
    lc(ncnt)=rc(ncnt)=sum(ncnt)=0;
    return ncnt;
}
void pushup(int o){
    sum(o)=sum(lc(o))+sum(rc(o));
    mx(o)=max(mx(lc(o)),mx(rc(o)));
}
void build(int&o,int l,int r){
    o=insert();
    if(l==r){
        sum(o)=mx(o)=a[l];return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    build(lc(o),l,mid);build(rc(o),mid+1,r);
    pushup(o);
}
void update(int&o,int l,int r,int L,int R){
    if(!o)o=insert();
    if(l==r){
        sum(o)=sqrt(sum(o));mx(o)=sqrt(mx(o));
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    if(L<=mid && mx(lc(o))>1)update(lc(o),l,mid,L,R);
    if(R>mid && mx(rc(o))>1)update(rc(o),mid+1,r,L,R);
    pushup(o);
}
int query(int o,int l,int r,int L,int R){//當前區間，查詢區間 
    if(!o)return 0;
    if(L<=l && R>=r)return sum(o);
    int mid=(l+r)>>1;
    int val=0;
    if(L<=mid)val+=query(lc(o),l,mid,L,R);
    if(R>mid)val+=query(rc(o),mid+1,r,L,R);
    return val;
}
signed main(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        a[i]=read();
    build(rt,1,n);
    m=read();
    int k,l,r;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        k=read();l=read();r=read();
        if(l>r)swap(l,r);
        if(k==0)
            update(rt,1,n,l,r);
        else printf("%lld\n",query(rt,1,n,l,r));
    }
    return 0;
}

而後咱們接着來看一下這樣一道題目：
Continuous Intervals。

題目大意：給定一個長度爲N的序列，定義連續區間[l,r]爲：序列的一段子區間，知足[l,r]中的元素從小到大排序後，任意相鄰兩項的差值不超過1。求一共有多少個連續區間。

這是一道區間計數類的問題。對於這類問題，其實我以前接觸的比較少，不太會寫。最近數數題考的又比較多，因此我以爲這是一道不錯的練習題。（同機房的dalao們都說水...

對於這類題目咱們有一個比較常規的解決方法就是：枚舉區間的一個端點，統計以該點爲答案的區間個數加入答案貢獻。

那對於這道題，咱們能夠枚舉它的右端點r。而後對於每一個枚舉的右端點r，咱們須要快速地求出有多少個左端點l知足連續區間的性質，咱們須要在O(logn)的時間解決。

咱們來分析一下連續區間的定義，這裏實際上是一個很是巧妙的轉換，我本身徹底沒有想到...

咱們發現，若是要求排好序後相鄰兩項的差值不超過1，那咱們排好序後定義就轉化爲：

$max[a_l...a_r]-min[a_l...a_r]=cnt-1$，其中cnt表示區間內不一樣數字的個數。

移項得：$max-min-cnt=-1$，咱們只須要維護區間的max-min-cnt就行了。

這個能夠用線段樹來實現：

咱們維護兩個單調棧來實現對max和min的維護，而後再用區間加減的形式更新max和min對區間內max-min-cnt的貢獻。

而後對於區間內不一樣數字個數，這是一個很經典的問題，咱們有兩種方式維護。

首先，若是數據大小比較小，咱們能夠開一個pre數組記錄它上一次出現的位置，而後一樣的使用區間加減來維護它對max-min-cnt的貢獻。這道題的數據是1e9，咱們能夠離散化或者開一個STL的map來作。

而後這道題就很簡單了，咱們從1到n枚舉右端點r，對於每個枚舉到的r，咱們更新以它爲右端點的區間[l,r]的max-min-cnt，最後再統計一下這個值=-1的區間個數。

給出代碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
char buf[5000010],*pos,*End;
#define getchar gc
inline char gc(){
    if(pos==End){
        End=(pos=buf)+fread(buf,1,5000000,stdin);
        if(pos==End)return EOF;
    }return *pos++;
}
inline int read(){
    int data=0,w=1;char ch=0;
    while(ch!='-' && (ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
    if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
    while(ch>='0' && ch<='9')data=data*10+ch-'0',ch=getchar();
    return data*w;
}
#define ll long long
#define LOG 4
const int N=1e5+10;
struct SegmentTree{
    int l,r;
    ll val,cnt,add;
    #define lc(x) tree[x].l
    #define rc(x) tree[x].r
    #define val(x) tree[x].val
    #define cnt(x) tree[x].cnt
    #define add(x) tree[x].add
}tree[N*LOG];
int n,ncnt,rt;
int a[N];
void pushup(int o){
    if(val(lc(o))==val(rc(o))){
        val(o)=val(lc(o));
        cnt(o)=cnt(lc(o))+cnt(rc(o));
    }else if(val(lc(o))<val(rc(o))){
        val(o)=val(lc(o));
        cnt(o)=cnt(lc(o));
    }else{
        val(o)=val(rc(o));
        cnt(o)=cnt(rc(o));
    }
}
inline void pushdown(int o){
    if(add(o)){
        val(lc(o))+=add(o);add(lc(o))+=add(o);
        val(rc(o))+=add(o);add(rc(o))+=add(o);
        add(o)=0;
    }
}
inline int insert(){
    ++ncnt;
    lc(ncnt)=rc(ncnt)=val(ncnt)=cnt(ncnt)=add(ncnt)=0;
    return ncnt;
}
void build(int&o,int l,int r){
    o=insert();
    if(l==r){
        val(o)=add(o)=0;cnt(o)=1;
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    build(lc(o),l,mid);
    build(rc(o),mid+1,r);
    pushup(o);
}
void update(int o,int l,int r,int L,int R,ll v){
    if(!o)o=insert();
    if(L<=l&&R>=r){
        val(o)+=v;add(o)+=v;
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    pushdown(o);
    if(L<=mid)update(lc(o),l,mid,L,R,v);
    if(R>mid)update(rc(o),mid+1,r,L,R,v);
    pushup(o);
}
int main(){
    int n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
    build(rt,1,n);
    vector<pair<int,int> > mii(n+7),mxx(n+7);//開兩個單調棧維護max和min 
    int tp1=0;int tp2=0;
    map<int,int> pre;
    ll ans=0;int cur;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cur=i;
        while(tp1>0&&a[i]<mii[tp1].first){
            int pos=mii[tp1-1].second;
            update(rt,1,n,pos+1,cur-1,mii[tp1].first-a[i]);
            //更新一下max-min-cnt，因爲是找到了更小的min，因此這一段的max-min-cnt變小了這麼多 
            --tp1;
            cur=pos+1;
        }
        mii[++tp1]=make_pair(a[i],i);//放進單調棧 
        cur=i;
        while(tp2>0&&a[i]>mxx[tp2].first){
            int pos=mxx[tp2-1].second;
            update(rt,1,n,pos+1,cur-1,a[i]-mxx[tp2].first);
            //找到了更大的max-min-cnt，也要讓這一段的max加上這麼多 
            --tp2;
            cur=pos+1;
        }
        mxx[++tp2]=make_pair(a[i],i);//放進單調棧 
        if(pre.find(a[i])!=pre.end()){//若是找到了和以前同樣的顏色不是在最後，也就是說不是拼在一塊的 
            int pos=pre[a[i]];//上一個的位置 
            update(rt,1,n,pos+1,i,-1);
            //這一段的數量在上面重複算了，上一個一樣顏色的位置到本身這一段的cnt都要-1 
        }else
               update(rt,1,n,1,i,-1);
               //若是和前面一段的顏色拼起來了，也就是說末尾的上一個顏色和本身的顏色同樣，前面的cnt就要-1 
        pre[a[i]]=i;//更新上一個這個顏色出現位置 
        if(val(rt)==-1)//若是值爲-1，就更新答案 
            ans+=cnt(rt);
    }
    printf("%lld ",ans);
    return 0;
}