樹鏈剖分（轉）

不得不說這個講的太清楚了，我仍是轉載一發吧。

原文地址：http://blog.sina.com.cn/starszys

「在一棵樹上進行路徑的修改、求極值、求和」乍一看只要線段樹就能輕鬆解決，實際上，僅憑線段樹是不能搞定它的。咱們須要用到一種貌似高級的複雜算法——樹鏈剖分。

    樹鏈，就是樹上的路徑。剖分，就是把路徑分類爲重鏈和輕鏈。
    記siz[v]表示以v爲根的子樹的節點數，dep[v]表示v的深度(根深度爲1)，top[v]表示v所在的鏈的頂端節點，fa[v]表示v的父親，son[v]表示與v在同一重鏈上的v的兒子節點（姑且稱爲重兒子），w[v]表示v與其父親節點的連邊（姑且稱爲v的父邊）在線段樹中的位置。只要把這些東西求出來，就能用logn的時間完成原問題中的操做。

    重兒子：siz[u]爲v的子節點中siz值最大的，那麼u就是v的重兒子。
    輕兒子：v的其它子節點。
    重邊：點v與其重兒子的連邊。
    輕邊：點v與其輕兒子的連邊。
    重鏈：由重邊連成的路徑。
    輕鏈：輕邊。

    剖分後的樹有以下性質：
    性質1：若是(v,u)爲輕邊，則siz[u] * 2 < siz[v]；
    性質2：從根到某一點的路徑上輕鏈、重鏈的個數都不大於logn。
   

    算法實現：
    咱們能夠用兩個dfs來求出fa、dep、siz、son、top、w。
    dfs_1：把fa、dep、siz、son求出來，比較簡單，略過。
    dfs_2：⒈對於v，當son[v]存在（即v不是葉子節點）時，顯然有top[son[v]] = top[v]。線段樹中，v的重邊應當在v的父邊的後面，記w[son[v]] = totw+1，totw表示最後加入的一條邊在線段樹中的位置。此時，爲了使一條重鏈各邊在線段樹中連續分佈，應當進行dfs_2(son[v])；
           ⒉對於v的各個輕兒子u，顯然有top[u] = u，而且w[u] = totw+1，進行dfs_2過程。
           這就求出了top和w。
    將樹中各邊的權值在線段樹中更新，建鏈和建線段樹的過程就完成了。

    修改操做：例如將u到v的路徑上每條邊的權值都加上某值x。
    通常人須要先求LCA，而後慢慢修改u、v到公共祖先的邊。而高手就不須要了。
    記f1 = top[u]，f2 = top[v]。
    當f1 <> f2時：不妨設dep[f1] >= dep[f2]，那麼就更新u到f1的父邊的權值(logn)，並使u = fa[f1]。
    當f1 = f2時：u與v在同一條重鏈上，若u與v不是同一點，就更新u到v路徑上的邊的權值(logn)，不然修改完成；
    重複上述過程，直到修改完成。

    求和、求極值操做：相似修改操做，可是不更新邊權，而是對其求和、求極值。
    就這樣，原問題就解決了。鑑於鄙人語言表達能力有限，咱畫圖來看看：

    如右圖所示，較粗的爲重邊，較細的爲輕邊。節點編號旁邊有個紅色點的代表該節點是其所在鏈的頂端節點。邊旁的藍色數字表示該邊在線段樹中的位置。圖中1-4-9-13-14爲一條重鏈。

    當要修改11到10的路徑時。
    第一次迭代：u = 11，v = 10，f1 = 2，f2 = 10。此時dep[f1] < dep[f2]，所以修改線段樹中的5號點，v = 4, f2 = 1；
    第二次迭代：dep[f1] > dep[f2]，修改線段樹中10--11號點。u = 2，f1 = 2；
    第三次迭代：dep[f1] > dep[f2]，修改線段樹中9號點。u = 1，f1 = 1；
    第四次迭代：f1 = f2且u = v，修改結束。

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例題：poj 2763 Housewife Wind

具體代碼見例題中的代碼……