Kosaraju算法的分析和證實

Kosaraju算法是求解有向圖強連通份量（strong connected component）的三個著名算法之一，能在線性時間求解出一個圖的強份量。用Sedgewick爺爺的話說，就是「現代算法設計的勝利」。

什麼是強連通份量？在這以前先定義一個強連通性（strong connectivity）的概念：有向圖中，若是一個頂點s到t有一條路徑，t到s也有一條路徑，即s與t互相可達，那麼咱們說s與t是強連通的。那麼在有向圖中，由互相強連通的頂點構成的份量，稱做強連通份量。

首先說一些離散數學相關的結論，由強連通性的概念能夠發現，這是一個等價關係。

證實：

一，按照有向圖的約定，每一個頂點都有到達自身的路徑，即自環，即任意頂點s到s可達，知足自反性；

二，若是s與t是強連通的，則s到t存在路徑，t到s存在路徑，顯然t與s也是強連通的，知足對稱性；

三，若是r與s強連通，s與t強連通，則r與s互相可達，s與t互相可達，顯然r與t也互相可達，知足傳遞性。

所以，強連通關係可導出一個等價類，這就是強連通份量。進一步的利用這結論能夠知道，兩個強連通份量之間木有交集（這個結論很重要）。事實上，圖論與離散數學中的關係有很是密切的……關係。

在編程求解強連通份量時，一般作法是對頂點進行編號，擁有相同編號的頂點屬於同一個強連通份量。在求解完以後，經過對編號的比較能夠迅速判斷兩個頂點是不是強連通的。

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Kosaraju算法過程上並不複雜。要求解一個有向圖的強連通份量，第一步：在該圖的逆圖上運行DFS，將頂點按照後序編號的順序放入一個數組中（顯然，這個過程做用在DAG上獲得的就是一個拓撲排序）；第二步：在原圖上，按第一步得出的後序編號的逆序進行DFS。也就是說，在第二次DFS時，每次都挑選當前未訪問的結點中具備最大後序編號的頂點做爲DFS樹的樹根。

Kosaraju算法的顯著特徵是，第一，引用了有向圖的逆圖；第二，須要對圖進行兩次DFS（一次在逆圖上，一次在原圖上）。並且這個算法依賴於一個事實：一個有向圖的強連通份量與其逆圖是同樣的（即假如頂點任意頂點s與t屬於原圖中的一個強連通份量，那麼在逆圖中這兩個頂點一定也屬於同一個強連通份量，這個事實由強連通性的定義可證）。因爲算法的時間取決於兩次DFS，所以時間複雜度，對於稀疏圖是O(V+E)，對於稠密圖是O(V²)，可見這是一個線性算法。Kosaraju的結論是，在第二次DFS中，同一棵搜索樹上的結點屬於一個強連通份量。

證實：假設頂點s與t屬於第二次DFS森林（注意，第二次是在原圖上搜索）的同一棵樹，r是這棵樹的根結點。那麼有如下兩個事實：一，原圖中由r可達s，這蘊含在逆圖中從s到r有一條路徑；二，r在逆圖中的後序編號大於s（r是樹根，所以r的後序編號比樹中全部的其餘結點的都大）。如今要證實的是在逆圖中從r到s也是可達的。

好，兩個事實結合起來：一，假設逆圖中r到s不可達，且s到r存在路徑，那麼這條路徑將使s的後序編號比r大，與事實一矛盾，排除；二，假設逆圖中r到s存在路徑，正是這條r到s的路徑使得r有更大的後序編號，則r與s是強連通的，假設成立（看上去比較勉強，我的認爲這應該是一個空證實）。顯然，兩個事實導出一個結論：逆圖中，r與s互相可達。同理，r與t也互相可達，根據傳遞性，第二次DFS森林中同一棵樹中的全部頂點構成一個強連通份量。

另外一方面，會不會一個強連通份量的全部頂點沒有出如今第二次DFS森林的同一顆樹中呢？答案是：不會。由於根據DFS的性質，若是r與s強連通，那麼由r開始的DFS一定能搜到s。

證畢。

可見Kosaraju的方法可以找出有向圖的強連通份量，那麼爲何這個方法可行呢？或者如何實現呢？這正是Kosaraju算法最爲精妙的地方，關鍵在於第二次DFS選取的順序：在第一次DFS中，將頂點按照後序編號存放，第二次DFS就按照這個順序的逆序進行搜索，這保證每次選取的根結點（剛纔證實中的r結點）都具備未訪問結點中最大的後序編號，則搜索中拓展的結點的後序編號都比根結點小，這樣也就知足了事實二。

補充：Kosaraju算法雖然是線性的，可是須要兩次DFS，跟另外兩個著名的求解強份量的算法相比，這是一個劣勢。可是Kosaraju算法有個神奇之處在於：計算以後的強份量編號的順序，恰好是該有向圖K(D)（kernel DAG， 核心DAG）的一個拓撲排序！所以Kosaraju算法同時提供了一個計算有向圖K(D)拓撲排序的線性算法。這個結果在一些應用中很是重要。