二叉搜索樹的平衡--AVL樹和樹的旋轉（圖解）

二叉搜索樹只有保持平衡時其查找效率纔會高。

要保持二叉搜索樹的平衡不是一件易事。不過仍是有一些很是經典的辦法能夠作到，其中最好的方法就是將二叉搜索樹實現爲AVL樹。

AVL樹得名於它的發明者 G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis，他們在 1962 年的論文 "An algorithm for the organization of information" 中發表了它。AVL樹是一種特殊類型的二叉樹，它的每一個結點都保存一份額外的信息：結點的平衡因子。

結點的平衡因子 = 左子樹的高度 - 右子樹的高度

插入和刪除操做都會致使AVL樹的自我調整（自我平衡），使得全部結點的平衡因子保持爲+一、-1或0。

當子樹的根結點的平衡因子爲+1時，它是左傾斜的（left-heavy)。

當子樹的根結點的平衡因子爲 -1時，它是右傾斜的(right-heavy)。

一顆子樹的根結點的平衡因子就表明該子樹的平衡性。

保持全部子樹幾乎都處於平衡狀態，AVL樹在整體上就可以基本保持平衡。

 

AVL樹的基本查找、插入結點的操做和二叉樹的操做同樣。可是，當向AVL樹中插入一個結點後，還有一些額外的工做要作。首先，必須計算因插入操做對平衡因子帶來的改變。其次，若是任何平衡因子變成了+/-2，就必須從這個結點開始往下從新平衡這顆樹，這個從新平衡的過程就稱爲旋轉。

AVL樹的旋轉

旋轉操做用來從新平衡樹的某個部分。經過從新安排結點 ，使結點之間的關係始終保持左子結點小於父結點，父結點小於右子結點。使得該樹仍然是一顆二叉搜索樹。旋轉事後，旋轉子樹中的全部結點的平衡因子都爲+一、-1或0。

AVL樹的旋轉類型有4種， 分別是LL(left-left)旋轉、LR(left-right)旋轉、RR(right-right)旋轉和RL(right-left)旋轉。

爲方便理解在什麼時候執行哪種旋轉，設x表明剛插入AVL樹中的結點，設A爲離x最近且平衡因子更改成2的絕對值的祖先。能夠概括爲下面4種處理狀況：

LL旋轉

以下圖所示，當x位於A的左子樹的左子樹上時，執行LL旋轉。

設left爲A的左子樹，要執行LL旋轉，將A的左指針指向left的右子結點，left的右指針指向A，將原來指向A的指針指向left。

旋轉事後，將A和left的平衡因子都改成0。全部其餘結點的平衡因子沒有發生變化。

 LR旋轉

當x位於A的左子樹的右子樹上時，執行LR旋轉。

設left是A的左子結點，並設A的子孫結點grandchild爲left的右子結點。

要執行LR旋轉，將left的右子結點指向grandchild的左子結點，grandchild的左子結點指向left，A的左子結點指向grandchild的右子結點，再將grandchild的右子結點指向A，最後將原來指向A的指針指向grandchild。

執行LR旋轉以後，調整結點的平衡因子取決於旋轉前grandchild結點的原平衡因子值。

若是grandchild結點的原始平衡因子爲+1，就將A的平衡因子設爲-1，將left的平衡因子設爲0。

若是grandchild結點的原始平衡因子爲0，就將A和left的平衡因子都設置爲0。

若是grandchild結點的原始平衡因子爲-1，就將A的平衡因子設置爲0，將left的平衡因子設置爲+1。

在全部的狀況下，grandchild的新平衡因子都是0。全部其餘結點的平衡因子都沒有改變。

 

RR旋轉

當x位於A的左子樹的右子樹上時，執行RR旋轉。

RR旋轉與LL旋轉是對稱的關係。

設A的右子結點爲Right。要執行RR旋轉，將A的右指針指向right的左子結點，right的左指針指向A，原來指向A的指針修改成指向right。

完成旋轉之後，將A和left的平衡因子都修改成0。全部其餘結點的平衡因子都沒有改變。

RL旋轉

當x位於A的右子樹的左子樹上時，執行RL旋轉。

 RL旋轉與LR旋轉是對稱的關係。

設A的右子結點爲right，right的左子結點爲grandchild。要執行RL旋轉，將right結點的左子結點指向grandchild的右子結點，將grandchild的右子結點指向right，將A的右子結點指向grandchild的左子結點，將grandchild的左子結點指向A，最後將原來指向A的指針指向grandchild。

執行RL旋轉之後，調整結點的平衡因子取決於旋轉前grandchild結點的原平衡因子。這裏也有三種狀況須要考慮：

若是grandchild的原始平衡因子值爲+1，將A的平衡因子更新爲0，right的更新爲-1；

若是grandchild的原始平衡因子值爲  0，將A和right的平衡因子都更新爲0；

若是grandchild的原始平衡因子值爲-1，將A的平衡因子更新爲+1，right的更新爲0；

在全部狀況中，都將grandchild的新平衡因子設置爲0。全部其餘結點的平衡因子不發生改變。