【證實】—— 二叉樹的相關證實

1. 數學概括法

Proof that a binary tree with n leaves has a height of at least log n

• 高度爲 n $n$ 的二叉樹，葉子結點很少於 2n $2^n$。

  數學概括法，證實三部曲：

  • n=0 $n=0$，只有一個根節點，則葉子結點也爲此根節點，爲 1，很少於 20 $2^0$

  • 令高度爲 k $k$，葉子結點很少於 2k $2^k$，咱們需證實：高度爲 k+1 $k+1$ 時，葉子結點很少於 2k+1 $2^{k+1}$

    高度爲 k+1 $k+1$ 時，考慮其左右孩子，則其左右孩子（也即左右子樹），高度不高於 k $k$，則左右孩子葉子節點數也均不高於 2k $2^k$，即左子樹，樹高不高於 k $k$，葉子結點數不高於 2k $2^k$，右子樹，樹高不高於 k $k$，葉子結點數不高於 2k $2^k$，則總的葉子節點數： ≤2k+2k=2k=1 $\le 2^k+2^k=2^{k=1}$