【數理統計基礎】 01 - 關於預測的方法學

　　相信不少人和我同樣，曾經把數學定義成精美的公式和巧妙的思惟。這些特性也正是數學能吸引不少愛好者的緣由，能欣賞其美妙者天然是愛得不行，但同時也在大衆內心造成了「困難」和「無用」的刻板印象。在現實中，數學一直在強力推進着科學文明的進步，業內人應當知道，公式不是憑空產生的，思惟也不是僅供玩味的。然而過去，對於普通人或通常工科從業者來講，即便知道數學的重要性，也只須要學會使用現成的工具便可。然而如今的狀況正在發生變化，人們面對的問題愈來愈複雜，縱使擁有強大的工具，也不知道如何正確地去使用。

　　隨着持續的學習，我對數學的認識在發生變化，雖然不見得正確，但確實是更真切的體驗。數學更本質的意義是對問題的抽象，抽象的過程當中會有所偏重，它不必定能精確描述整個問題，但必定要精確描述模型自己。數學討論的內容是很是寬泛的，只要能抽象出合適的模型，均可能創建起有價值的理論。模型的對象甚至不必定是肯定性現象，「隨機性」「可能性」自己也能成爲模型的對象，這就是咱們前面學習的機率論。

　　開篇說這些廢話，是想代表兩個觀點。第一個是數學的本質是抽象，這件事人人均可以作、人人也必需作，它是人類思惟的基本方法，差異只在於深淺不一樣。數學不光有美麗和巧妙，它的出發點和着力點仍是應用，鍛鍊抽象思惟，在生活中會到處受益。第二個是數學的侷限性，模型創建起來以後，數學只負責挖掘其自己的價值，它不必定能解決或者適合解決你的全部問題。使用者要學會選擇模型，而在此以前首先要對問題進行抽象，這一步的難度對於使用者是相當重要的。還有就是在應用場合下，也須要根據實際需求去看待數學結論，人的主動性在整個過程當中都很是重要。

　　前面咱們看到，機率論是研究隨機事件的模型，它對不肯定性作了很好的度量。但隨機問題有不少種提法，合適地利用機率論仍然是件困難的事，對於具體問題可能還要創建更高層次的模型。好比隨機過程和數理統計，它們均可以以機率論爲基礎，同時還有自身的特色，須要對問題作合適的抽象。機率論能夠說是存粹的分析學分支，而數理統計則是對機率模型的應用。完整的統計學包含更多的內容，甚至離開機率論也能進行一些理論研究，但有些場合的確須要一個好的機率模型，基於機率論的統計學便叫作數理統計。這提醒咱們，解決統計問題，仍是要根據側重點選擇最合適的工具，機率論只是其中一個工具而已。後面還會看到，對於同一個問題，機率論均可以有大相徑庭的使用方法，而選擇權徹底在應用者手裏。

　　統計這件事是在人類文明之初就有的，在至關長的一段時間裏，它以數據的收集和簡單的分析爲主。在這個漫長的過程當中，人們掌握了各類方法、積累了許多經驗，可是並無造成系統的理論。在機率論日趨成熟的1八、19世紀，不少重要的統計推斷方法被提出，其中包括貝葉斯的統計推斷法、還有高爾頓的迴歸方法。高斯在天文觀測的偏差研究中，提出了正態分佈和最小二乘法，後來在其它領域獲得了普遍的應用。

　　統計學真正的高速發展期，一直要到20世紀。初期是以費歇爾和皮爾遜爲典型表明的英國學派，其中費歇爾的研究最爲普遍和深入，雖然他以生物學做爲研究場景，但卻提出了諸多通用的數理統計方法，並造成了不少重要的思想和結論。到了20世紀中葉，數理統計的思想方法已經很是豐富和成熟，克拉美的《統計數學方法》更是標誌着數理統計做爲一個獨立數學學科的成立。二戰以後，隨着經濟和科學的發展，數理統計在更廣闊的範圍得以應用，尤爲是計算機的使用，更快速的計算大大下降了理論的使用障礙。同時學科的理論也獲得了極大的豐富和發展，其中瓦爾德的統計決策理論更是爲數理統計創建了清晰統一的數學模型。另外，貝葉斯思想在20世紀後半葉又從新發展起來，尤爲是與決策論相結合的貝葉斯決策，成爲了決策領域最爲通常而有效的方法。

                               

     R.A. Fisher（1890-1962）                               W. Abrahom（1902～1950）

 　　以上只是粗線條地回顧了數理統計的發展歷史，更詳細的介紹請參考材料[5]。不過大概咱們須要知道，數理統計是一門應用數學，它從機率論出發，以統計推斷爲目標，過程當中會提出大量的現實問題和理論需求，但都是以數學方法爲解決途徑。數理統計既有很強性理論性須要挖掘，也有龐雜的具體應用場景須要討論，所以須要理論和實踐的共同做用。目前我只有精力學習一些最基礎的概念和方法，但願之後有時間能補充完「高等數理統計」和「應用數理統計」。

 

　　本系列目錄

　　　　02 - 統計量和三大分佈

　　　　03 - 參數估計

　　　　04 - 假設檢驗

　　　　05 - 迴歸分析

　　　　06 - 相關分析和方差分析

　　博客總目錄在這裏

 

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【前序學科】 初等機率論，線性代數

【參考資料】

[1] 《機率論與數理統計》，陳希孺，2009

[2] 《數理統計學教程》，陳希孺，2009

[3] 《高等數理統計學》，陳希孺，1996

[4] 《統計學概貌》，陳希孺，1989

[5] 《數理統計學簡史》，陳希孺，2002

　　我認爲想入門數理統計，陳院士的這套書是很是好的選擇。它最重要是能夠幫你創建起正確的思想，而不是概念和公式的堆砌。做者比較強調對原問題的分析，以及對數學結論的合理解釋，整套書都極富啓發性，其中的文字部分請認真閱讀思考。

[6] 《數理統計（4th）》，師義民，2015

　　比較成熟的一本基礎教材，涵蓋核心課題並做了適當拓展。有詳細的證實過程和豐富的例題，比通常經濟類教材更加嚴謹，適合理工專業使用。

[7] 《應用數理統計（3rd）》，孫榮恆，2014

　　覆蓋比較全的數理統計基礎概念和結論，算是一本不錯的理論參考書。其實並無偏向應用場景講解，重心仍是放在了理論知識的梳理上。