圖像處理－線性濾波－2 圖像微分（一、2階導數和拉普拉斯算子）

更復雜些的濾波算子通常是先利用高斯濾波來平滑，而後計算其1階和2階微分。因爲它們濾除高頻和低頻，所以稱爲帶通濾波器（band-pass filters）。

在介紹具體的帶通濾波器前，先介紹必備的圖像微分知識。

1 一階導數

連續函數，其微分可表達爲 ，或                         （1.1）

對於離散狀況（圖像），其導數必須用差分方差來近似，有

                                   ，前向差分 forward differencing                  （1.2）

                                    ，中心差分 central differencing                     （1.3）

1）前向差分的Matlab實現

 1 function dimg = mipforwarddiff(img,direction)
 2 % MIPFORWARDDIFF     Finite difference calculations 
 3 %
 4 %   DIMG = MIPFORWARDDIFF(IMG,DIRECTION)
 5 %
 6 %  Calculates the forward-difference for a given direction
 7 %  IMG       : input image
 8 %  DIRECTION : 'dx' or 'dy'
 9 %  DIMG      : resultant image
10 %
11 %   See also MIPCENTRALDIFF MIPBACKWARDDIFF MIPSECONDDERIV
12 %   MIPSECONDPARTIALDERIV
13  
14 %   Omer Demirkaya, Musa Asyali, Prasana Shaoo, ... 9/1/06
15 %   Medical Image Processing Toolbox
16  
17 imgPad = padarray(img,[1 1],'symmetric','both');%將原圖像的邊界擴展
18 [row,col] = size(imgPad);
19 dimg = zeros(row,col);
20 switch (direction)   
21 case 'dx',
22    dimg(:,1:col-1) = imgPad(:,2:col)-imgPad(:,1:col-1);%x方向差分計算，
23 case 'dy',
24    dimg(1:row-1,:) = imgPad(2:row,:)-imgPad(1:row-1,:); 
25 otherwise, disp('Direction is unknown');
26 end;
27 dimg = dimg(2:end-1,2:end-1);

 

2）中心差分的Matlab實現

 1 function dimg = mipcentraldiff(img,direction)
 2 % MIPCENTRALDIFF     Finite difference calculations 
 3 %
 4 %   DIMG = MIPCENTRALDIFF(IMG,DIRECTION)
 5 %
 6 %  Calculates the central-difference for a given direction
 7 %  IMG       : input image
 8 %  DIRECTION : 'dx' or 'dy'
 9 %  DIMG      : resultant image
10 %
11 %   See also MIPFORWARDDIFF MIPBACKWARDDIFF MIPSECONDDERIV
12 %   MIPSECONDPARTIALDERIV
13  
14 %   Omer Demirkaya, Musa Asyali, Prasana Shaoo, ... 9/1/06
15 %   Medical Image Processing Toolbox
16  
17 img = padarray(img,[1 1],'symmetric','both');
18 [row,col] = size(img);
19 dimg = zeros(row,col);
20 switch (direction)
21     case 'dx',
22         dimg(:,2:col-1) = (img(:,3:col)-img(:,1:col-2))/2;
23     case 'dy',
24         dimg(2:row-1,:) = (img(3:row,:)-img(1:row-2,:))/2;
25     otherwise,
26         disp('Direction is unknown');
27 end
28 dimg = dimg(2:end-1,2:end-1);

實例：技術圖像x方向導數

1 I = imread('coins.png'); figure; imshow(I);
2 Id = mipforwarddiff(I,'dx'); figure, imshow(Id);

 

   

    原圖像                                                   x方向1階導數

 

2 圖像梯度（Image Gradient）

圖像I的梯度定義爲  ，其幅值爲 。出於計算性能考慮，幅值也可用 來近似。

Matlab函數

1）gradient：梯度計算

2）quiver：以箭頭形狀繪製梯度。注意放大下面最右側圖可看到箭頭，因爲這裏計算橫豎兩個方向的梯度，所以箭頭方向都是水平或垂直的。

實例：仍採用上面的原始圖像

 

1 I = double(imread('coins.png'));
2 [dx,dy]=gradient(I);
3 magnitudeI=sqrt(dx.^2+dy.^2);
4 figure;imagesc(magnitudeI);colormap(gray);%梯度幅值
5 hold on;quiver(dx,dy);%疊加梯度方向

 

     

                         梯度幅值                                   梯度幅值+梯度方向

 

3 二階導數

對於一維函數，其二階導數 ，即 。它的差分函數爲

                                                   （3.1）

 

3.1 普拉斯算子（laplacian operator）

3.1.2 概念

拉普拉斯算子是n維歐式空間的一個二階微分算子。它定義爲兩個梯度向量算子的內積

                                  （3.2）

其在二維空間上的公式爲：                    （3.3)

 

對於1維離散狀況，其二階導數變爲二階差分

1）首先，其一階差分爲

2）所以，二階差分爲

           

3）所以，1維拉普拉斯運算能夠經過1維卷積核 實現

 

對於2維離散狀況（圖像），拉普拉斯算子是2個維上二階差分的和（見式3.3），其公式爲：

   （3.4）

上式對應的卷積核爲

                       

經常使用的拉普拉斯核有：

                      

3.1.2 應用

拉普拉斯算子會突出像素值快速變化的區域，所以經常使用於邊緣檢測。

Matlab裏有兩個函數

1）del2

計算公式： ，  

2）fspecial：圖像處理中通常利用Matlab函數fspecial

h = fspecial('laplacian', alpha) returns a 3-by-3 filter approximating the shape of the two-dimensional Laplacian operator.
The parameter alpha controls the shape of the Laplacian and must be in the range 0.0 to 1.0. The default value for alpha is 0.2.

 

3.1.3 資源

http://fourier.eng.hmc.edu/e161/lectures/gradient/node8.html （很是清晰的Laplacian Operator介紹，本文的主要參考）

http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/HIPR2/log.htm