從一些簡單的例子看算法時間複雜度

從一些簡單的例子看算法時間複雜度

    在編程中，一段代碼的執行效率實際上很難估算和預測，其主要受到以下幾個方面的影響：

1.算法依據的數學基礎。

2.編譯器產生的代碼質量和語言的執行效率。

3.問題的輸入規模。

4.硬件的執行速度。

一般狀況下，問題的輸入規模和算法的數學基礎是編碼人員須要考慮的條件。時間複雜度是一個用來描述算法執行效率的重要標準。  

    在理解時間複雜度以前，你應該先了解什麼叫作算法的時間頻度，所謂時間頻度便是一個算法解決問題所消耗的時間。可是通常狀況下，一個算法解決問題消耗的時間一般與輸入值有關，例如咱們輸入一個整數，找到比它小的全部正偶數，代碼以下：

let n = 10;

for (var i = 0; i < n; i++) {
	if (i%2==0) {
		console.log(i);
	}
}

上面代碼，當輸入n爲10時，循環會執行10次，若是時間頻度t，則當輸入n爲20時，時間頻度爲2t。時間複雜度是用來描述隨着問題規模n的變化時間頻度t的變化規律。下面是一段更加數學風格的描述：

 通常狀況下，算法中基本操做重複執行的次數是問題規模n的某個函數，用T(n)表示，如有某個輔助函數f(n),使得當n趨近於無窮大時，T(n)/f(n)的極限值爲不等於零的常數，則稱f(n)是T(n)的同數量級函數。記做T(n)=Ｏ(f(n)),稱Ｏ(f(n)) 爲算法的漸進時間複雜度，簡稱時間複雜度。

    計算一個算法的時間複雜度時，咱們能夠將算法分解爲逐條語句，計算每條語句的時間複雜度後再進行累加，以下代碼的做用是對輸入進行求累加：

let n = 10;  
let res = 0; //1
for (var i = n; i > 0; i--) { //1+(n+1)+(n+1)
	res = i+res;  //n
}
console.log(res);//1

當n輸入爲10時，時間頻度爲1+1+n+1+n+1+n+1 = 3n+5。設算法的時間複雜度函數爲f(n),(3n+5)/f(n)當n趨於無窮大時，上式能夠簡化爲3n/f(n)，取f(n)=n,上次結果爲非零常數，所以此算法的時間複雜度爲f(n)=n，記作O(n)。

    當算法的執行時間頻度和n無關時，算法的時間複雜度爲O(1)，這是時間複雜度最小的函數，可是須要注意，時間複雜度小並不能說明算法執行耗費的時間短，好比一萬行代碼每行只執行一次的算法時間複雜度也爲O(1)。

     常見的算法時間複雜度由小到大以此爲：

Ο(1)＜Ο(log²n)＜Ο(n)＜Ο(nlog²n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜…＜Ο(2n)＜Ο(n!)

其中O(log² n）是除了O(1)外時間複雜度最小的函數，例如以下代碼：

let n = 10;  
var i = 1;

while(i<n){//2^t<n t<log2(n)  t爲時間頻度
	i = i * 2;
	tip++;
}

上面的時間頻度爲 1+1+log2(n)+log2(n)+log2(n)，去掉常數項後爲3log2(n)，時間複雜度爲O(log2(n))。若是將上面的代碼在加一層循環，則時間複雜度會變爲O(nlog3(n)):

let n = 10;  


for (var i = 0; i < n; i++) {// 1+n+1+n+1
	var j = 1;   //n
	while(j<n){//[3^t<n t<log3(n)]n  t爲時間頻度
		j = j*3;
	}
}

    經過上面的示例，也很容易能夠看出，循環層數的增多會劇烈的增長算法的時間複雜度，若是在遞歸函數中使用循環，則很容易產生時間複雜度爲O(n!)的代碼，從數學上看，這種代碼隨着輸入複雜度的增長性能會急劇降低，在使用遞歸加循環時，仍是要多多注意，示例代碼以下：

function func(n) {  //n
	if (n<0) {
		return;
	}
	var i = 0;    //n
	for (; i < n; i++) { //n*(n-1)*(n-2)...*1
		console.log("tip");
	}
	func(--i);
}
func(10);

上面示例的JavaScript代碼當傳入n爲150時的耗時已經和正常循環10000次的相同。