離散數學圖論基礎知識總結

時間 2021-01-11

原文原文鏈接

無序對:
兩個元素構成的集合 ${a, b}$ 稱爲無序對，
若 $A, B$ 爲兩個集合，則 ${{a, b} | a \in A \land b \in B}$ 爲 $A$ 與 $B$ 構成的無序積

與笛卡爾積的區別在於構成笛卡爾積是由有序對構成
無序積 中的無序對的兩個元素不分次序同時又可以是相同的

多重集合
集合中的元素可以重複出現，和Multimap 或 Multiset 中類似

重複度爲元素在多重集合中出現的次數

無向圖

一個無向圖G是一個二元組 $< V, E >$ , 即 $G =< V, E >$
$V$ 是頂點集，是一個非空的有窮集合（意思爲一個無向圖裏面至少有一個頂點，並且頂點的個數是有限的）
$E$ 是邊集，它是無序積 $V$ & $V$ 的一個有窮的多重子集通俗來說就是可以存在重邊，以及自環

有向圖
$D =< V, E >$
和無向圖的區別就是邊是有方向的

幾個概念

n階圖 : 有n個頂點
零圖 : 沒有邊
平凡圖：只有一個頂點，沒有邊，即一階零圖
空圖：沒有點，沒有邊記爲 $\emptyset$ 在定義中規定頂點集非空，但是在圖的運算中可能產生空圖

在無向圖 $G =< V, E >$ 中，設邊 $e = (v_{i}, v_{j}) \in E$ $v_{i}, v_{j}$ 爲 $e$ 的端點
那麼 $e$ 與 $v_{i} (v_{j}) 关联$
如果 $v_{i} \neq v_{j}$ 那麼 $v_{i} (v_{j})$ 與 $e$ 的關聯次數爲1
如果 $v_{i} = v_{j}$ 那麼 $v_{i} (v_{j})$ 與 $e$ 的關聯次數爲2
若 $v_{k}$ 不是e的端點那麼 $v_{k}$ 與 $e$ 的關聯次數爲0

簡單來說
如果這條邊是自環那個這個環所連的點與這個環的關聯次數爲2
如果是一條邊那麼邊的兩個端點與這條邊的關聯次數爲1
其他點與這條邊的關聯次數自然就爲0了

在無向圖中

如果兩個頂點之間至少有一條邊這兩個點相鄰
如果兩條邊有一個共同的點這兩條邊相鄰

有向圖
$D =< V, E >$ 中， $e =< v_{i}, v_{j} >\in E$ $v_{i}, v_{j}$ 是 $e$ 的兩個端點
$v_{i}$ 是 $e$ 的起點
$v_{j}$ 是 $e$ 的終點
$e$ 與 $v_{i}, v_{j}$ 關聯
$v_{i}$ 到 $v_{j}$ 有一條邊那麼這兩個頂點相鄰
稱爲
$v_{i}$ 鄰接 $v_{j}$
$v_{j}$ 鄰接 $v_{i}$
如果一條邊的終點是另一條邊的起點那麼這兩邊相鄰
比如這樣

此圖中 $e_{1}$ 與 $e_{2}$ 相鄰

在無向圖和有向圖中

沒有邊關聯的點是孤立點
兩個端點重合的邊是環

頂點的度數
無向圖 $G =< V, E >$ $v_{i} \in V$ 那麼 $v_{i}$ 連了幾條邊那麼它的度數就是多少
度記爲 $d_{G} (v_{i})$ 簡記爲 $d (v_{i})$
每個環給端點提供的度數爲2

有向圖 $D =< V, E >$ $v_{i} \in V$
出度： $v_{i}$ 作爲邊的起點次數（即有多少條邊從它指向另一個端點）記爲 $d^{+} (v_{i})$
入度： $v_{i}$ 作爲邊的終點次數 (即有多少條邊指向它) 記爲 $d^{-} (v_{i})$
度數：作爲邊的端點次數記爲 $d (v_{i})$
顯然
$d (v_{i}) = d^{+} (v_{i}) + d^{-} (v_{i})$

度數爲1的頂點爲懸掛頂點
與懸掛頂點關聯的邊稱爲懸掛邊
最大度： $Δ = m a x {d (v) | v \in V (D)}$
最小度： $δ = m i n {d (v) | v i n t V (D)}$
最大出度： $Δ^{+} = m a x {d^{+} (v) | v \in V (D)}$
最小出度： $δ^{+} = m i n {d^{+} (v) | v \in V (D)}$
最大入度： $Δ^{-} = m a x {d^{-} (v) | v \in V (D)}$
最小入度： $δ^{-} = m i n {d^{-} (v) | v \in V (D)}$

握手定理
各頂點的度數之和爲邊數的兩倍
$\sum_{i = 1}^{n} d (v_{i}) = 2 m$
推論
任何圖中，度數爲奇數的頂點個數是偶數

簡單證明:
$∵$ 所有度數之和必爲偶數(由握手定理)
$∵$ 奇數個奇數+（偶數個或者奇數個）偶數 = 奇數
$∴$ 矛盾

定理6.2

所有頂點入度之和( $\sum_{(} i = 1)^{n} d^{+} (v_{i})$ )=所有頂點出度之和( $\sum_{i = 1}^{n} d^{-} (v_{i})$ )=邊數(m)

度數列
設 $V = {v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ 爲n階圖G的頂點集
稱 $d (v_{1}), d (v_{2}), \dots, d (v_{n})$ 爲G的度數列

對於有向圖可繼續劃分爲出度列和入度列

幾個概念
平行邊
在無向圖中，關聯一對頂點的無向邊多餘1條，這些邊統稱爲平行便
重數
平行邊的條數成爲重數

有向平行邊
有向圖中，關聯一對頂點的有向邊多於1條，並且起點和終點相同（或者理解爲方向相同）

多重圖
含平行邊的圖

簡單圖
既不含平行邊也不含環的圖

顯然 n階簡單無向圖
$Δ \leq n - 1$

無向完全圖
記爲 $K_{n}$
簡單說：每對頂點之間都有一條邊的無向簡單圖
$m = C_{n}^{2} = \frac{n (n - 1)}{2}$

有向完全圖
簡單說：每對頂點之間均有兩條方向相反的邊的有向簡單圖
$m = 2 C_{n}^{2} = n (n - 1)$

$k -$ 正則圖
無向簡單圖中，各頂點度數均等於k
由握手定理知 n階 $k -$ 正則圖中邊數 $m = \frac{k n}{2}$

n階無向圈圖
共有n條邊，並且邊的順序是按點的順序
直接給圖：

邊集 $E = {< v_{1}, v_{2} >, < v_{2}, v_{3} >, < v_{3}, v_{4} >, < v_{4}, v_{1} >}$
記爲 $C_{n}$

n階有向圈圖
和n階無向圈圖一樣，只不過邊加上了方向
給圖：

邊集 $E = {< v_{1}, v_{2} >, < v_{2}, v_{3} >, < v_{3}, v_{4} >, < v_{4}, v_{1} >}$
記爲 $C_{n}$

n階輪圖
就是在無向圈 $C_{n - 1} (n \geq 4)$ 內放置一個頂點，使得該頂點與 $C_{n - 1}$ 上的每個頂點相鄰
所得的簡單圖即爲n階輪圖，記爲 $W_{n}$

n方體圖
簡單來說，就是每個頂點與它相鄰的頂點，他們的頂點標號的二進制表示只有一位不同記爲 $Q_{n}$

子圖

$G =< V, E >, G^{^{'}} =< V^{^{'}}, E^{^{'}} >$
兩圖都是無向圖，或者兩圖都是有向圖
如果 $G^{^{'}} 中的点集和边集都 \subseteq G$
那麼 $G^{^{'}} 是 G 的子图， G 是 G^{^{'}} 的母图$ 記爲 $G^{^{'}} \subseteq G$
如果 $G^{^{'}} \neq G$ 那麼 $G^{^{'}} 是 G 的真子图$
如果 $V^{^{'}} = V$ 那麼 $G^{^{'}} 是 G 的生成子图$ (簡單來說：生成子圖就是包含母圖的所有頂點，但是包含一部分邊（或者全部邊）)

如果 $\emptyset \neq E_{1} \subseteq E$
並且 $V_{1}$ 爲以 $E_{1}$ 中的邊關聯的頂點全體爲頂點集的 $G$ 的子圖
稱爲 $E_{1}$ 的導出子圖記作 $G [E_{1}]$

簡單來說，就是取母圖中的一個子邊集，並且這些邊的兩端的端點構成子點集。

補圖

就是在原圖中，保留所有頂點，然後加邊，使得原圖變成完全圖 $K_{n}$ 然後去掉原有的邊，所得的圖就是補圖
$\bar{G} = V$ & $V$ - $G$

ps:原圖和補圖互爲補圖

如果
$\bar{G} ≅ G$ 那麼稱它們爲自補圖

圖的同構
簡單來說如果其中一個圖通過變換可以變成另一個圖，那麼兩圖同構記爲 $G_{1} ≅ G_{2}$
或者說若它們都是標定圖，可以通過調整一個圖的頂點次序，使得 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 有相同的度數列，那麼兩圖同構

圖的連通性
通路
$G =< V, E >, 设 G 中顶点和边的交替序列为 Γ = v_{0} e_{1} v_{1} e_{2} \dots e_{l} v_{l}$
要求: $v_{i - 1} 是 e_{i} 的起点， v_{i} 是 e_{i} 的终点$ $i = 1, 2, \dots, l$
那麼 $Γ 为 v_{0} 到 v_{l} 的回路$
$Γ 中所含边数即为 Γ 的长度$
若 $v_{0} = v_{l}$ 那麼稱通路爲迴路（簡單來說，就是通路的起點和終點一樣）

簡單通路
$Γ 中所有边各异$ ，便是簡單通路
若 $v_{0} = v_{l}$ 那麼稱 $Γ 为简单回路$

初級通路
$Γ 中所有顶点各异，且所有边各异$ 稱爲初級通路或路徑
若 $v_{0} = v_{l}$ 那麼稱 $Γ$ 爲初級迴路或圈
長度爲奇數的圈爲奇圈，長度爲偶數的圈爲偶圈

複雜通路
在初級通路的基礎上， $Γ 中有重边$ 稱 $Γ 为复杂通路$
$v_{0} = v_{l}$ 複雜迴路

備註
在無向圖中，長度爲1的圈由環給出，長度爲2的圈由兩條平行邊給出，在無向簡單圖中，圈長至少爲3,。
在有向圖中，長度爲1的圈由環給出。在有向簡單圖中，圈長至少爲2

定理6.3
在一個n階圖中，若從頂點 $u$ 到 $v$ $(u \neq v)$ 存在通路，則從 $u 到 v 存在长度 \leq n - 1 的初级通路$
簡單證明：把通路中重複出現的頂點去掉，這條通路就變成初級通路，既然頂點各異，邊各異，長度必然 $\leq n - 1$

定理6.4
在一個n階圖中，如果存在 $v 到自身的简单回路$ , 則從 $v$ 到自身存在長度不超過 $n$ 的初級迴路
簡單證明：也是把重複頂點去掉

無向圖連通性
若 $v_{i} 与 v_{j} 之间存在通路$ 那麼 $v_{i} 与 v_{j} 是连通的$
規定 $v_{i} 与自身连通$

連通圖
無向圖 $G$ 是平凡圖（一階零圖，即只有一個頂點，沒有邊）或者 $G$ 中任意兩個頂點都是連通的，則稱 $G$ 是連通圖
否則稱 $G$ 是非連通圖

連通分支
在原圖的一個子圖中，其中任意兩個頂點都是相互可達，並且其中的任意頂點與子圖以外的頂點都是不可達，那麼稱這個子圖爲連通分支（連通塊）
連通分支的個數記爲 $p (G)$ 對於一個連通圖， $p (G) = 1$

短程線
$v_{i} 与 v_{j} 是连通的话，那么短程线就是 v_{i} 到 v_{j} 之间长度最短的通路$
短程線的長度稱爲 $v_{i} 到 v_{j} 之间的距离$
記爲 $d (v_{i}, v_{j})$ 若 $v_{i} 与 v_{j} 之间不连通，那么规定 d (v_{i}, v_{j}) = \infty$

三條性質
1° $d (v_{i}, v_{j}) \geq 0 并且当 v_{i} = v_{j} 时，等号成立$
2° $d (v_{i}, v_{j}) + d (v_{j}, v_{k}) \geq d (v_{i}, v_{k})$
3° $d (v_{i}, v_{j}) = d (v_{j}, v_{i})$

點割集
如果刪去原圖中的一些點，使得原圖的連通性被破壞，或者說連通分支數量增加，並且如果少刪一些點不能導致破壞連通性，那麼這些點的集合稱爲點割集，如果點割集中只有一個點，那麼稱其爲割點

備註：懸掛頂點不可能出現在點割集中

邊割集
刪去一些邊，使得破壞連通性，並且少刪一條都不行。這些邊組成的集合稱爲邊割集，簡稱割集。若只有一條邊，則稱該邊爲割邊或者橋

備註
1° 完全圖 $K_{n}$ 無點割集
2° n階零圖既無點割集，也無邊割集
3° 若 $G$ 是連通圖， $E^{^{'}}$ 爲 $G$ 的邊割集，那麼 $p (G - E^{^{'}}) = 2$
4° 若 $G$ 是連通圖， $V^{^{'}} 是 G 的点割集$ ，則 $p (G - V^{^{'}}) \geq 2 而且可能 p (G - V^{^{'}}) > 2$

點連通度
$κ (G) = m i n {| V^{^{'}} | | V^{^{'}} 是 G 的点割集或 V^{^{'}} 使 (G - V^{^{'}}) 只有一个顶点}$
那麼稱 $κ (G) 是 G 的点连通度$

邊連通度
$λ (G) = m i n {| E^{^{'}} | | E^{^{'}} 是 G 的边割集}$
那麼稱 $λ (G) 为 G 的边连通度$

備註
1° $若 G 是平凡图，则 κ (G) = λ (G) = 0 这里约定 m i n \emptyset = 0$
2° $若 G 是完全图 K_{n}, 由于 G 无点割集，那么显然当删除 n - 1 个顶点之后， G 变成平凡图，所以 κ (G) = n - 1$
3° $若 G 中存在割点，则 κ (G) = 1 ；若 G 中存在割边（桥），则 λ (G) = 1$

定理6.5
對於任何無向圖G，有
$κ (G) \leq λ (G) \leq δ (G)$

有向圖連通性
$设 D =< V, E > 为有向图，设 v_{i}, v_{j} 为 D 中任意两个顶点$
$v_{i} 到 v_{j} 之间有通路，那么称 v_{i} 可达 v_{j} ，规定 v_{i} 到自身总是可达$
$若 v_{j} 可达 v_{i} ，那么称 v_{i} 与 v_{j} 是相互可达的$
$若 v_{i} 到 v_{j} 之间存在通路，那么最短的通路称为短程线，短程线的长度称为 v_{i} 到 v_{j} 的距离$

弱連通圖或連通圖
$D 为一有向图，如果略去方向所得图是连通图，那么 D 为弱连通图或连通图$

單向連通圖
$D 中任意两顶点至少一个可达另一个$

強連通圖
$D 中任意两顶点相互可达$

$判别有向图 D 是否为强联通或是否为单向连通$
1° $若有向图 D 中存在经过每个顶点至少一次的回路，则 D 是强联通的$
2° $若有向图 D 中存在经过每个顶点至少一次的通路，则 D 是单向连通的$

圖的矩陣表示

無向圖的關聯矩陣
$设无向图 G =< V, E >, V = {v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}, E = {e_{1}, e_{2}, \dots, e_{m}}$
$令 m_{i j} 为顶点 v_{i} 与边 e_{j} 的关联次数, 则称 (m_{i j})_{n \times m} 为 G 的关联矩阵，记作 M (G)$

$m_{i j} 的取值有三种$
$0 (v_{i} 与 e_{j} 不关联)$
$1 (v_{i} 与 e_{j} 关联一次)$
$2 (e_{j} 是以 v_{i} 为端点的环)$

五條性質
1° $\sum_{i = 1}^{n} m_{i j} = 2 ，即 M (G) 各列元素之和为 2$
2° $\sum_{i = 1}^{m} m_{i j} = d (v_{i}) ，即 M (G) 第 i 行元素之和为 v_{i} 的度数$
3° $\sum_{i = 1}^{n} d (v_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} = \sum_{j = 1}^{m} \sum_{i = 1} n = \sum_{i = 1}^{m} 2 = 2 m (握手定理)$
4° $若第 j 列与第 k 列相同，当且仅当 e_{j} 与 e_{k} 是平行边$
5° $\sum_{j = 1}^{m} m_{i j} = 0 ，当且仅当顶点 v_{i} 为孤立点$

有向無環圖的關聯矩陣
有向圖中的 $m_{i j} 有三种取值$
$1 (v_{i} 为 e_{j} 的起点)$
$0 (v_{i} 与 e_{j} 不关联)$
$- 1 (v_{i} 是 e) j 的终点)$

五條性質
1° 每列恰有一個1和一個-1(規定圖中無環)
2° 1的總個數等於-1的總個數，等於邊數
3° $第 i 行中 1 的个数等于 v_{i} 的出度， - 1 的个数等于 v_{i} 的入度$
4° $第 j 列与第 k 列相同当且仅当 e_{j} 和 e_{k} 是平行边$
5° $第 i 行全为 0 当且仅当 v_{i} 是孤立点$

有向圖的鄰接矩陣
設有向圖 $D =< V, E >, V = {v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}, | E | = m, 令 a_{i j}^{(1)} 为顶点 v_{i} 邻接到顶点 v_{j} 的边的条数，称 (a_{i j}^{(1)})_{n \times n} 为 D 的邻接矩阵，记为 A (D)$

兩條性質
1° $第 i 行元素之和为 v_{i} 的出度$
2° $第 j 列元素之和为 v_{j} 的入度$

定理6.6
$A^{l} (l \geq 1) 中的元素 a_{i j}^{(l)} 是 v_{i} 到 v_{j} 长度为 l 的通路数， \sum_{i, j} a_{i j}^{(} l) 是 D 中长度为 l 的通路总数，其中 \sum_{i} a_{i j}^{(l)} 是 D 中长度为 l 的回路总数$

推論
$B_{l} = A + A^{2} + \dots + A^{l} (l \geq 1), 则 B_{l} 的元素 b_{i j}^{(l)} 是 D 中长度小于等于 l 的回路总数$

可達矩陣
$1 表示 v_{i} 可达 v_{j}$
$0 表示不可达$

三條性質
1° $主对角线上的元素全为 1 ，即 p_{i j} = 1, i \leq i \leq n$
2° $D 是强联通，当且仅当 P (D) 的元素全为 1$
3° $p_{i j} = 1 当且仅当 b_{i j}^{(n - 1)} \neq 0, 1 \leq i, j \leq n 且 i \neq j$