動態規劃——揹包問題1：01揹包

揹包問題是動態規劃中的一個經典題型，其實，也比較容易理解。

當你理解了揹包問題的思想，凡是考到這種動態規劃，就必定會得很高的分。

 

揹包問題主要分爲三種：

01揹包    徹底揹包    多重揹包

 

其中，01揹包是最基礎的，最簡單的，也是最重要的。

由於其餘兩個揹包都是由01揹包演變而來的。因此，學好01揹包，對接下來的學習頗有幫助。

 

廢話很少說，咱們來看01揹包。

 

01 揹包問題：給定 n 種物品和一個容量爲 C 的揹包，物品 i 的重量是 wi，其價值爲 vi 。

問：應該如何選擇裝入揹包的物品，使得裝入揹包中的物品的總價值最大？

 

第一眼看上去，咱們會想到貪心（揹包問題還不會QAQ）。

用貪心算法來看，流程是這樣的：

1.排序，按價值從大到小排序

2.選價值儘量大的物品放入。

 

可是，貪心作這題是錯的。

 

讓咱們舉個反例：

n=5,C=10 重量 價值 第一個物品： 10            5 第二個物品： 1             4 第三個物品： 2             3 第四個物品： 3             2 第五個物品： 4             1

 

用貪心一算。答案是5，但正解是用最後4個，價值總和是10.

 

那將重量排序呢？

其實也不行。

稍微一想就想到了反例。

 

咱們須要藉助別的算法。

貪心法用的是一層循環，而數據不保證在一層循環中得解，因而，咱們要採用二層循環。

這也是揹包的思想之一。

 

來看揹包算法：

1.用二維數組dp [ i ] [ j ]，表示在面對第 i 件物品，且揹包容量爲  j 時所能得到的最大價值 

好比說上面的那個反例：

dp [ 1 ] [ 3 ] = 4 + 3 = 7.

2.01揹包之因此叫「01」，就是一個物品只能拿一次，或者不拿。

那咱們就分別來討論拿仍是不拿。

（1）j < w[i] 的狀況，這時候揹包容量不足以放下第 i 件物品，只能選擇不拿

dp [ i ] [ j ] = dp [ i - 1 ] [ j ]；

（2）j>=w[i] 的狀況，這時揹包容量能夠放下第 i 件物品，咱們就要考慮拿這件物品是否能獲取更大的價值。

~若是拿取，dp [ i ] [ j ] = dp [ i - 1 ] [ j - w [ i ] ] + v [ i ]。 這裏的dp [ i - 1 ] [ j - w [ i ] ]指的就是考慮了i-1件物品，揹包容量爲 j-w[i] 時的最大價值，也是至關於爲第i件物品騰出了w[i]的空間。

 

~若是不拿，dp [ i ] [ j ] = dp [ i-1 ] [ j ]

到底拿不拿呢？要看拿與不拿那個結果更大了。

 

看，這用到了動態規劃的思想：在求值時會用到以前狀態的結果。

 

咱們就能夠得出狀態轉移方程了。

 

1 if(j>=w[i])
2     dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
3 else 
4     dp[i][j] = dp[i-1][j];

 

 因而，完整代碼就出來了：

code：

 1 int n,c,w[1001],v[1001];  2 int dp[1001][1001];  3 cin>>n>>c;  4 for(int i=1;i<=n;i++)  5     cin>>w[i]>>v[i];  6 for(int i=1;i<=n;i++) //物品 
 7 {  8     for(int j=1;j<=c;j++)  //從一枚舉到C 
 9  { 10         if(j>=w[i]) 11             dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);  //最大值 
12         else                
13             dp[i][j]=dp[i-1][j]; 14  } 15 } 16 cout<<dp[n][c]<<endl;//n個物品，揹包空間爲c的dp值 

 

那麼，這是二維的01揹包，能夠看出，數組受空間限制，不能開太大，因此，咱們還有一種優化01揹包，只有一維的數組

 

先考慮上面講的基本思路如何實現，確定是有一個主循環i=1..N，每次算出來二維數組dp[ i ] [ 0..V ]的全部值。那麼，若是隻用一個數組dp [ 0..V ]，能不能保證第i次循環結束後dp[ v ]中表示的就是咱們定義的狀態dp [ i ] [ v ]呢？dp[ i ][ v ]是由dp[ i-1 ][ v ]和dp[ i-1 ][ v-c[i] ]兩個子問題遞推而來，可否保證在推dp[ i ][ v ]時（也即在第i次主循環中推dp[ v ]時）可以獲得dp[ i-1 ][ v ]和dp[ i-1 ][ v-c[i] ]的值呢？事實上，這要求在每次主循環中咱們以v=V..0的順序推dp[ v ]，這樣才能保證推dp[ v ]時dp[ v-c[i] ]保存的是狀態dp[ i-1 ][ v-c[i] ]的值。若是將v的循環順序從上面的逆序改爲順序的話，那麼則成了dp[ i ][ v ]由dp[ i ][ v-c[ i ] ]推知，與本題意不符，但它倒是徹底揹包最簡捷的解決方案，故學習只用一維數組解01揹包問題是十分必要的。

1 for(int i=1;i<=n;i++) 2 { 3     for(int v=c;v>=0;v--) 4  { 5         dp[v]=max(dp[v],dp[v-c[i]]+w[i]); 6  } 7 }

這就是代碼，相比上面的簡潔了許多，既優化了空間，又減小了代碼長度。

 

這就是01揹包問題，其實真沒啥難度，記下模板都能過。

 

上面的講解應該很詳細了，你們多看幾遍，應該是能夠理解的。

咱們下次將講解徹底揹包和多重揹包問題，咱們下次見。