約瑟夫和孫子定理

2*k 我的構成一個環 前k個好人 後k個壞人， 要求以m個報數，前k個殺死的全是壞人。

首先嚐試求得這樣一個m，知足條件。

k=1的時候， x o   m = 2  則先殺死壞人

k=2的時候， x x  o o  m= 7

如何解決k=2時候狀況？

假設首先殺死第3我的 則 m = 4*a+3  

接着殺死第4我的  則 m = 3*b + 1

知足上面兩個條件的m如何求？

4*a+3 = 3*b+1    4*a = 3*b-2 = 3*c+1

這涉及到孫子定理， 擴展歐幾里德算法， Bézout's identity  等概念

http://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_Remainder_Theorem

http://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_successive_substitution

http://en.wikipedia.org/wiki/Modular_multiplicative_inverse

http://en.wikipedia.org/wiki/Extended_Euclidean_algorithm

http://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zout%27s_identity

 

由於4*a = 3*c+1   且 4，3互質， (4*1)%3 == 1

因此4的mod運算的逆是 1， 4%3 == 1 , 4*a%3 == 1 因此 a%3 == 1

因此 a = 3*d+1

因此 4a +3 = 4*(3*d+1) +3 = 12d+7

因此m = 7 便可知足條件。

 

上面假設先殺死第3我的，若是先殺死第4我的，則有

m = 4*a + 4 = 4*b (b>=1)

m = 3*c + 3 = 3*d  (d >= 1)

因此 4b = 3d

b%3 == 0 

m = 4*(3e) = 12e 

m最小是 12

 

因此m最優解是 7