[Link-Cut-Tree][BZOJ2631]Tree

題面

Description:

一棵\(n\)個點的樹，每一個點的初始權值爲\(1\)。對於這棵樹有\(q\)個操做，每一個操做爲如下四種操做之一：

• + u v c：將\(u\)到\(v\)的路徑上的點的權值都加上天然數\(c\)；
• - u1 v1 u2 v2：將樹中原有的邊\(u1-v1\)刪除，加入一條新邊\(u2-v2\)，保證操做完以後仍然是一棵樹；
• * u v c：將\(u\)到\(v\)的路徑上的點的權值都乘上天然數\(c\)；
• / u v：詢問\(u\)到\(v\)的路徑上的點的權值和，求出答案對於\(51061\)的餘數。

Input

第一行兩個整數\(n,q\)
接下來\(n-1\)行每行兩個正整數\(u,v\)，描述這棵樹
接下來\(q\)行，每行描述一個操做

Output

對於每一個/對應的答案輸出一行

Sample Input

3 2
1 2
2 3
* 1 3 4
/ 1 1

Sample Output

4

HINT

100%的數據保證，\[1\le n,q\le 100000,1\le u,v,u1,v1,u2,v2\le n,0\le c\le 100001\]

Link-cut Tree 的做用&思想

• 做用：相似於動態樹鏈剖分（能夠修改點、邊）

• 思想：用鏈的思想，把樹剖爲多個伸展樹

  樹與樹之間只保存父關係，不保存子關係。

  樹鏈剖分把樹分紅若干條重鏈，對於每條重鏈，用線段樹來維護信息。利用各線段樹的信息來獲得答案。

Link-cut Tree 的基本操做

1.access(u):把u到根節點變成一條鏈

u是當前點，v是前驅

其實就是一層一層往上爬，每次順帶修改鏈上的兒子

void access(int u){
    for(int v=0;u;v=u,u=fa[u]){
        splay(u);
        ch[u][1]=v;
        pushup(u);
    }
}

2.makeroot(u):把u變成根

access+splay後，u已是根，可splay的路徑上須要進行父子反向，其餘的沒有影響，所以要進行翻轉

void makeroot(int u){
    access(u);
    splay(u);
    reverse(u);
}

3.cut(u,v):切斷u,v之間的鏈接

咱們先makeroot(u)+access(v)+splay(v)

因爲u和v同在一棵Splay中且u必定是v的父親，因此Splay中v的左兒子必定是u，斷開便可。

void cut(int a,int b){
    makeroot(a);
    access(b);
    splay(b);
    ch[b][0]=0;
    fa[a]=0;
    pushup(b);
}

4.link(u,v):鏈接u,v

把u變成根，這時u沒有父親，就能夠安心鏈接了。再把其父親設爲v，就實現了鏈接。

void link(int a,int b){
    makeroot(a);
    fa[a]=b;
}

5.isconnect(u,v):檢測u,v是否鏈接

咱們先makeroot(u)+access(v)+splay(v)

若是u和v不在同一棵LCT中，執行makeroot(u)後，u的父親應該爲空(他是根)

除非a和b在同一棵樹中，在access(v)+splay(v)後，u與v應該在同一棵Splay中，既然v是根，那麼u就不是根，即u必定有一個父親存在。

bool isconnect(int a,int b){
    if(a==b) return true;
    makeroot(a);
    access(b);
    splay(b);
    return fa[a];
}

---

代碼

注意有多個修改中懶標的特殊處理方式。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int ch[100001][2],fa[100001],siz[100001],lazr[100001],cnt,n,q;
unsigned num[100001],tot[100001],lazp[100001],lazc[100001],mod=51061;
inline unsigned rd(){
    unsigned re=0;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9'){
        re=re*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return re;
}
inline bool isroot(int bt){return ch[fa[bt]][0]!=bt&&ch[fa[bt]][1]!=bt;}
inline int drct(int bt){return ch[fa[bt]][1]==bt;}
inline void pushup(int bt){siz[bt]=siz[ch[bt][0]]+siz[ch[bt][1]]+1;tot[bt]=((tot[ch[bt][0]]+num[bt])%mod+tot[ch[bt][1]])%mod;}
inline void reverse(int bt){swap(ch[bt][0],ch[bt][1]);lazr[bt]^=1;}
inline void add(int bt,unsigned c){num[bt]=(num[bt]+c)%mod;tot[bt]=(tot[bt]+siz[bt]*c)%mod;lazp[bt]=(lazp[bt]+c)%mod;}
inline void times(int bt,unsigned c){num[bt]=(num[bt]*c)%mod;tot[bt]=(tot[bt]*c)%mod;lazc[bt]=(lazc[bt]*c)%mod;lazp[bt]=(lazp[bt]*c)%mod;}
inline void pd(int bt){
    if(lazr[bt]){
        if(ch[bt][0])reverse(ch[bt][0]);
        if(ch[bt][1])reverse(ch[bt][1]);
        lazr[bt]=0;
    }
    if(lazp[bt]){
        if(ch[bt][0])add(ch[bt][0],lazp[bt]);
        if(ch[bt][1])add(ch[bt][1],lazp[bt]);
        lazp[bt]=0;
    }
    if(lazc[bt]!=1){
        if(ch[bt][0])times(ch[bt][0],lazc[bt]);
        if(ch[bt][1])times(ch[bt][1],lazc[bt]);
        lazc[bt]=1;
    }
}
inline void pushdown(int u){
    if(!isroot(u))pushdown(fa[u]);
    pd(u);
}
inline void rotate(int u){
    int f=fa[u],g=fa[f],c=drct(u);
    if(!isroot(f))ch[g][drct(f)]=u;
    fa[u]=g;
    ch[f][c]=ch[u][c^1];
    if(ch[f][c])fa[ch[f][c]]=f;
    ch[u][c^1]=f;
    fa[f]=u;
    pushup(f);
    pushup(u);
}
void splay(int u){
    pushdown(u);
    while(!isroot(u)){
        if(!isroot(fa[u]))rotate(drct(fa[u])==drct(u)?fa[u]:u);
        rotate(u);
    }
}
void access(int u){
    for(int v=0;u;v=u,u=fa[u]){
        splay(u);
        ch[u][1]=v;
        pushup(u);
    }
}
void makeroot(int u){
    access(u);
    splay(u);
    reverse(u);
}
void link(int a,int b){
    makeroot(a);
    fa[a]=b;
}
void cut(int a,int b){
    makeroot(a);
    access(b);
    splay(b);
    ch[b][0]=0;
    fa[a]=0;
    pushup(b);
}
void makeline(int u,int v){
    makeroot(u);
    access(v);
    splay(v);
}
int main(){
    n=rd();
    q=rd();
    for(int i=1;i<=n;i++)lazc[i]=num[i]=tot[i]=siz[i]=1;
    for(int i=1;i<n;i++){
        int u=rd(),v=rd();
        link(u,v);
    }
    makeroot(1);
    for(int i=1;i<=q;i++){
        char cha[5];
        scanf("%s",cha);
        int u=rd(),v=rd();
        if(cha[0]=='+'){
            unsigned c=rd();
            makeline(u,v);
            add(v,c);
        }else if(cha[0]=='-'){
            int u2=rd(),v2=rd();
            cut(u,v);
            link(u2,v2);
        }else if(cha[0]=='*'){
            unsigned c=rd();
            makeline(u,v);
            times(v,c);
        }else if(cha[0]=='/'){
            makeline(u,v);
            printf("%u\n",tot[v]);
        }
    }
}