二分搜索以及其擴展形式

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二分搜索使用的前提是數組必須有序，在本文中，咱們用lo（low）表示查找範圍的起始下標，hi（hight）表示查找範圍的結束下標，mid表示lo和hi的中間位置。

 

1. 通常狀況二分搜索

	/*普通二分搜索，若是找到key，返回任意一個和key相等的元素下標，不然返回-1*/
	public static int find(int[] a, int key){
		
		int lo = 0, hi = a.length - 1;
		
		while(lo <= hi){
			
			int mid = (lo + hi) / 2;
			
			if(a[mid] > key){
				hi = mid - 1;
			}else if(a[mid] < key){
				lo = mid + 1;
			}else{
				return mid;
			}
		}
		
		return -1;
	}

 如今咱們來看正常的二分搜索，咱們來討論一下若是沒有找到這這個元素時，lo和hi下標的元素值和key的大小關係。若是沒有找到key,最後一個查找的位置必定是lo == hi的位置，下標lo以前元素的必定比key小，下標hi以後元素的必定比key大。若是當前位置（即lo和hi的下標）比key大，hi減少1；若是當前位置比key小，lo增長1。總之lo會比hi大1，結束循環。若是沒有找到key，lo和hi二者之一有可能越界，hi越界時 hi爲-1，lo越界時lo爲a.length。在沒有越界的狀況下，循環結束之後，a[hi] < key，a[lo] > key。因此, 若是沒有找到這這個元素，a[hi]是小於key中最接近key的值，a[lo]是大於key中最接近key的值。

 

2. 最小下標二分搜索

問題：若是不存在key，返回-1， 若是存在key，返回和key相等的元素中的最小的下標。

思路：若是a[mid] == key 則用lastFind記錄下mid，而後在[lo, mid-1]中繼續繼續查找，若是在這個新範圍內還能找到和key相等的元素下標，則替換lastFind，而後更新lo和hi,繼續迭代上述過程，直到lo > hi；若是沒有找到，lastFind就是最小下標 。

	/*若是不存在目標元素，返回-1， 若是存在目標元素，返回和目標元素相等中下標最小的*/
	public static int findWithMinIndex(int[] a, int key){
		
		int lo = 0, hi = a.length - 1;
		
		int lastFind = -1;
		while(lo <= hi){
			
			int mid = (lo + hi)/2;
			
			if(a[mid] > key){
				hi = mid - 1;
			}else if(a[mid] < key){
				lo = mid + 1; 
			}else{
				lastFind = mid;
				hi = mid - 1;
			}
		}
		
		return lastFind;
	}

	/*上述問題的第二種實現方法
	public static int findWithMinIndex(int[] a, int target){
		int lo = 0, hi = a.length - 1;
		while(lo <= hi){
			int mid = (lo + hi)/2;
			if(a[mid] >= target){
				hi = mid - 1;
			}else{
				lo = mid + 1;
			}
		}
		
		if(lo < a.length && a[lo] == target){
			return lo;
		}else{
			return -1;
		}
	}
	*/

 同理，咱們能夠解決大於等於key的元素個數的問題。

 

3. 小於key的元素個數

整個數組中的元素能夠分爲兩種，大於等於key的和小於key的。若是a[mid] >= key下一個查找的範圍是[lo, mid-1]，若是a[mid] < key下一個查找的範圍是[mid+1, hi], 直到lo > hi 才退出循環。最後一個查找的位置必定是lo == hi的位置，lo下標以前的必定小於key，hi下標以後的必定大於等於key。若是當前位置（即lo和hi的下標）的元素值大於等於key，hi減少1；若是當前位置小於key小，lo增長1。因此當循環結束時，lo以前下標的元素都是小於key的，而這些元素的個數等於lo。

	/*返回數組元素 <key 的元素個數*/
	public static int findLessCnt(int[] a, int key){
		
		int lo = 0, hi = a.length - 1;
		
		while(lo <= hi){
			
			int mid = (lo + hi)/2;
			
			if(a[mid] >= key){
				hi = mid - 1;
			}else{
				lo = mid + 1; 
			}
		}
		
		return lo;
	}

同理，咱們能夠解決大於key的元素個數的問題。

 

4. 小於等於key的元素個數

整個數組中的元素能夠分爲兩種，大於key的和小於等於key的。若是a[mid] > key下一個查找的範圍是[lo, mid-1]，若是a[mid] <= key下一個查找的範圍是[mid+1, hi]，直到lo > hi 才退出循環。最後一個查找的位置必定是lo == hi的位置，lo下標以前的必定小於等於key，hi下標以後的必定大於key。若是當前位置（即lo和hi的下標）的元素值大於key，hi減少1；若是當前位置小於等於key小，lo增長1。因此當循環結束時，lo以前下標的元素都是小於等於key的，而這些元素的個數等於lo。

	/*返回 數組元素中 <=key 的元素個數*/
	public static int findLessEqualCnt(int[] a, int key){
		
		int lo = 0, hi = a.length - 1;
		
		while(lo <= hi){
			
			int mid = (lo + hi) / 2;
			
			if(a[mid] > key){
				hi = mid - 1;
			}else{
				lo = mid + 1;
			}
		}
		
		return  lo;
	}

同理，咱們能夠解決大於等於key的元素個數的問題。