dfs序七個經典問題

update-2018.07.23:　　原文問題五思路描述有誤，已更正。

　參考自：《數據結構漫談》-許昊然

dfs序是樹在dfs先序遍歷時的序列，將樹形結構轉化成序列問題處理。

dfs有一個很好的性質：一棵子樹所在的位置處於一個連續區間中。

ps:deep[x]爲x的深度，l[x]爲dfs序中x的位置，r[x]爲dfs序中x子樹的結束位置

1.點修改，子樹和查詢

　　在dfs序中，子樹處於一個連續區間中。因此這題能夠轉化爲：點修改，區間查詢。用樹狀數組或線段樹便可。

2.樹鏈修改，單點查詢

　　將一條樹鏈x,y上的全部點的權值加v。這個問題能夠等價爲：

　　1）.x到根節點的鏈上全部節點權值加v。

　　2）.y到根節點的鏈上全部節點權值加v。

　　3）.lca（x,y）到根節點的鏈上全部節點權值和減v。

　　4）.fa(lca(x,y))到根節點的鏈上全部節點權值和減v。　　

　　上面四個操做能夠歸結爲：節點x到根節點鏈上全部節點的權值加減v。修改節點x權值，當且僅當y是x的祖先節點時，x對y的值有貢獻。

　　因此節點y的權值能夠轉化爲節點y的子樹節點貢獻和。從貢獻和的角度想：這就是點修改，區間和查詢問題。

　　修改樹鏈x,y等價於add(l[x],v),add(l[y],v),add(l[lca(x,y)],-v),add(l[fa(lca(x,y))],-v)。

　　查詢：get_sum(r[x])-get_sum(l[x]-1)

　　用樹狀數組或線段樹便可。

3.樹鏈修改，子樹和查詢

　　樹鏈修改部分同上一問題。下面考慮子樹和查詢問題：前一問是從貢獻的角度想，子樹和同理。

　　對於節點y其到根節點的權值和，考慮其子節點x的貢獻：w[x]*(deep[x]-deep[y]+1) = w[x]*(deep[x]+1)-w[x]*deep[y] 

　　因此節點y的子樹和爲：

　　

　　ps:公式中的v[i]爲手誤，應爲w[i]。

　　因此用兩個樹狀數組或線段樹便可：

　　　　第一個維護∑w[i]*(deep[i]+1):支持操做單點修改，區間和查詢。（這也就是問題2）

　　　　第二個維護∑ w[i]：支持操做單點修改，區間查詢。（這其實也是問題2）

4.單點更新，樹鏈和查詢

　　樹鏈和查詢與樹鏈修改相似，樹鏈和(x,y)等於下面四個部分和相加：

　　1）.x到根節點的鏈上全部節點權值加。

　　2）.y到根節點的鏈上全部節點權值加。

　　3）.lca（x,y）到根節點的鏈上全部節點權值和的-1倍。

　　4）.fa(lca(x,y))到根節點的鏈上全部節點權值和的-1倍。

　　因此問題轉化爲：查詢點x到根節點的鏈上的全部節點權值和。

　　修改節點x權值，當且僅當y是x的子孫節點時，x對y的值有貢獻。

　　差分前綴和，y的權值等於dfs中[1,l[y]]的區間和。

　　單點修改：add(l[x],v),add(r[x]+1,-v);

5.子樹修改，單點查詢

　　修改節點x的子樹權值，在dfs序上就是區間修改，單點權值查詢就是單點查詢。

　　區間修改，單點查詢問題：樹狀數組或線段樹便可;

6.子樹修改，子樹和查詢

　　題目等價與區間修改，區間查詢問題。用樹狀數組或線段樹便可。

7.子樹修改，樹鏈查詢

　　樹鏈查詢同上，等價爲根節點到y節點的鏈上全部節點和問題。

　　修改節點x的子樹權值，當且僅當y是x的子孫節點時（或y等於x），x對y的值有貢獻。

　　x對根節點到y節點的鏈上全部節點和的貢獻爲：w[x]*(deep[y]-deep[x]+1)=w[x]*deep[y]-w[x]*(1-deep[x])

　　同問題三，用兩個樹狀數組或線段樹便可。