4_樹

 樹是n(n≥0)個結點的有限集。在任意一棵非空樹中：

（1）有且僅有一個特定的稱爲根的結點；

（2）當n>1時，其他結點可分爲m(m>0)個互不相交的有限集T1,T2,…,Tm，其中每個集合自己又是一棵樹，而且稱爲根的子樹。

 

 

 

樹做爲一種邏輯結構，顯然是一種遞歸的結構，同時也是一種分層結構。

 

性質：

一、n個結點的樹中有n-1條邊

二、樹中結點數等於全部結點度數加1

三、度爲m的樹中第i層上至多有m ^i-1個結點（i>=1）（即算做每一個結點的度爲m，這樣多一層便多一次方倍(除去第一層根結點因此-1)）

四、高度爲h的m叉樹至多有(m ^h-1)(m-1)個結點。(m ^h+m ^h-1+...+m+1=(m ^h-1)(m-1))

五、具備n個結點的m叉樹的最小高度爲 log _m ^(n(m-1)+1)  (推理不出，死記)

 

基本操做：

插入類：初始化置空、按定義建立、結點賦值、插入樹做爲子樹

刪除類：樹清空、銷燬結構、刪除結點的子樹 

查找類：根結點、當前結點、當前結點雙親結點、當前節點左/右子節點、當前節點最左/右子結點、、判空、求深、遍歷

 

二叉樹

特殊二叉樹：滿二叉樹、徹底二叉樹、二叉排序樹、平衡二叉樹 

 

性質：

一、二叉樹上子結點數等於度爲2的結點數加1

二、1)二叉樹的第 i 層上至多有 個結點

     2)深度爲 k 的二叉樹上至多含  個結點

四、1)具備 n 個結點的徹底二叉樹的深度爲

      2)結點 i 所在的深度爲log ₂ ⁱ+1。

五、徹底二叉樹標上順序編號，則對其中任意一個編號爲 i 的結點：

      1）若 i=1，則該結點是二叉樹的根無雙親，不然有雙親，偶爲左子奇爲右子，編號 i/2 或  (i-1)/2 的結點分別爲雙親結點；

      2）若2i>N或2i+1>N，i分別無左子或右子，不然結點 i 的左子爲2i或右子爲2i+1;

      

順序存儲結構

適用滿二叉樹和徹底二叉樹，對於通常二叉樹就用0來表示沒有結點的位置

注意：數組下標從1開始，二叉樹的順序存儲與樹的順序存儲之間關係

鏈式存儲結構

 

二叉樹遍歷

二叉樹的應用是在遍歷爲基礎上，進行查找、添加、刪除，與線性表的應用的分類上不大同樣。

 

前序遍歷 中序遍歷 後序遍歷 

非遞歸遍歷：非遞歸遍歷(棧) 層次遍歷(隊列)

應用：輸入結點值，構造二叉樹 (先序遍歷） 統計二叉樹中葉子結點的個數 (先序遍歷)   求二叉樹的深度 (後序遍歷) 

 

線索二叉樹

    二叉樹的指針域是結點數的2倍，n個結點的二叉樹有2n個指針域，有n-1條邊(除了根結點外每一個結點都有一條邊指向)，即有n-1個含邊的非空指針域，由此空指針域可由指針域與非空指針域作差獲得：2n-(n-1)=n+1 個，且存在於葉結點。

    利用這些空結點一方面避免存儲資源浪費，更重要的另外一方面，在二叉樹鏈表上僅知道每一個結點的左右子，若每次想知道某結點前驅後繼就須要遍歷一次，利用這些空指針域作線索化就能將二叉樹 轉化爲一個雙向鏈表，對查找、插入、刪除結點帶來了方便。

    爲此增設兩個標誌域ltag和rtag存放bool值(佔內存小於指針變量lchild和rchild)。

 

樹、森林

樹的存儲結構：

雙親表示法(帶指針域的數組，每一個元素(結點)指針域指向本身的雙親結點)、 便於尋找結點雙親，尋找子女需遍歷

孩子表示法(在雙親表示法基礎上，將指針域改成指向本身的子結點，而且被指向的結點具備一樣結構，一樣地其指針域一樣指向本身子結點，這樣就造成了自上而下的鏈表，第一列爲頭結點，沒有子結點的結點指向NULL)、 便於尋找結點子女，尋找雙親需遍歷

以上兩種方法能夠合二爲一 

孩子兄弟表示法(二叉樹結點鏈，只不過左指針指向左邊第一個孩子，右指針指向本身的右邊下一個兄弟，從根結點開始)、 方便轉化爲二叉樹，易於查找結點子女，缺點是難找雙親，能夠每一個結點加一個parent域指向其雙親來解決

 

樹、森林與二叉樹的轉化

1.孩子兄弟法使森林中每棵樹—>二叉樹。2.以第一棵樹的二叉樹做爲根結點樹，而後依次接上左子

 

孩子兄弟表示法能夠將普通樹轉化成二叉樹存儲，在實際操做中，能夠應用二叉樹的性質來解決普通樹或者森林的問題。

 

 樹的應用—並查集