徹底揹包問題

轉自：http://love-oriented.com/pack/

題目

有N種物品和一個容量爲V的揹包，每種物品都有無限件可用。第i種物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可以使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。

基本思路

這個問題很是相似於01揹包問題，所不一樣的是每種物品有無限件。也就是從每種物品的角度考慮，與它相關的策略已並不是取或不取兩種，而是有取0件、取1件、取2件……等不少種。若是仍然按照解01揹包時的思路，令f[i][v]表示前i種物品恰放入一個容量爲v的揹包的最大權值。仍然能夠按照每種物品不一樣的策略寫出狀態轉移方程，像這樣：

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}

這跟01揹包問題同樣有O(VN)個狀態須要求解，但求解每一個狀態的時間已經不是常數了，求解狀態f[i][v]的時間是O(v/c[i])，總的複雜度能夠認爲是O(V*Σ(V/c[i]))，是比較大的。

將01揹包問題的基本思路加以改進，獲得了這樣一個清晰的方法。這說明01揹包問題的方程的確是很重要，能夠推及其它類型的揹包問題。但咱們仍是試圖改進這個複雜度。

一個簡單有效的優化

徹底揹包問題有一個很簡單有效的優化，是這樣的：若兩件物品i、j知足c[i]<=c[j]且w[i]>=w[j]，則將物品j去掉，不用考慮。這個優化的正確性顯然：任何狀況下均可將價值小費用高得j換成物美價廉的i，獲得至少不會更差的方案。對於隨機生成的數據，這個方法每每會大大減小物品的件數，從而加快速度。然而這個並不能改善最壞狀況的複雜度，由於有可能特別設計的數據能夠一件物品也去不掉。

這個優化能夠簡單的O(N^2)地實現，通常均可以承受。另外，針對揹包問題而言，比較不錯的一種方法是：首先將費用大於V的物品去掉，而後使用相似計數排序的作法，計算出費用相同的物品中價值最高的是哪一個，能夠O(V+N)地完成這個優化。這個不過重要的過程就不給出僞代碼了，但願你能獨立思考寫出僞代碼或程序。

轉化爲01揹包問題求解

既然01揹包問題是最基本的揹包問題，那麼咱們能夠考慮把徹底揹包問題轉化爲01揹包問題來解。最簡單的想法是，考慮到第i種物品最多選V/c[i]件，因而能夠把第i種物品轉化爲V/c[i]件費用及價值均不變的物品，而後求解這個01揹包問題。這樣徹底沒有改進基本思路的時間複雜度，但這畢竟給了咱們將徹底揹包問題轉化爲01揹包問題的思路：將一種物品拆成多件物品。

更高效的轉化方法是：把第i種物品拆成費用爲c[i]*2^k、價值爲w[i]*2^k的若干件物品，其中k知足c[i]*2^k<=V。這是二進制的思想，由於無論最優策略選幾件第i種物品，總能夠表示成若干個2^k件物品的和。這樣把每種物品拆成O(log V/c[i])件物品，是一個很大的改進。

但咱們有更優的O(VN)的算法。

O(VN)的算法

這個算法使用一維數組，先看僞代碼：

for i=1..N
    for v=0..V
        f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}

你會發現，這個僞代碼與P01的僞代碼只有v的循環次序不一樣而已。爲何這樣一改就可行呢？首先想一想爲何P01中要按照v=V..0的逆序來循環。這是由於要保證第i次循環中的狀態f[i][v]是由狀態f[i-1][v-c[i]]遞推而來。換句話說，這正是爲了保證每件物品只選一次，保證在考慮「選入第i件物品」這件策略時，依據的是一個絕無已經選入第i件物品的子結果f[i-1][v-c[i]]。而如今徹底揹包的特色恰是每種物品可選無限件，因此在考慮「加選一件第i種物品」這種策略時，卻正須要一個可能已選入第i種物品的子結果f[i][v-c[i]]，因此就能夠而且必須採用v=0..V的順序循環。這就是這個簡單的程序爲什麼成立的道理。

值得一提的是，上面的僞代碼中兩層for循環的次序能夠顛倒。這個結論有可能會帶來算法時間常數上的優化。

這個算法也能夠以另外的思路得出。例如，將基本思路中求解f[i][v-c[i]]的狀態轉移方程顯式地寫出來，代入原方程中，會發現該方程能夠等價地變造成這種形式：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i][v-c[i]]+w[i]}

將這個方程用一維數組實現，便獲得了上面的僞代碼。

最後抽象出處理一件徹底揹包類物品的過程僞代碼：

procedure CompletePack(cost,weight)
    for v=cost..V
        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

總結

徹底揹包問題也是一個至關基礎的揹包問題，它有兩個狀態轉移方程，分別在「基本思路」以及「O(VN)的算法「的小節中給出。但願你可以對這兩個狀態轉移方程都仔細地體會，不只記住，也要弄明白它們是怎麼得出來的，最好可以本身想一種獲得這些方程的方法。事實上，對每一道動態規劃題目都思考其方程的意義以及如何得來，是加深對動態規劃的理解、提升動態規劃功力的好方法。