01揹包問題和徹底揹包問題

http://blog.csdn.net/kangroger/article/details/38864689

在hihocoder上面的題目中看到的這個問題，總結一下。先看01揹包問題。

01揹包問題：一個揹包總容量爲V，如今有N個物品，第i個 物品體積爲weight[i]，價值爲value[i]，如今往揹包裏面裝東西，怎麼裝能使揹包的內物品價值最大？

看到這個問題，可能會想到貪心算法，可是貪心實際上是不對的。例如最少硬幣找零問題，要用動態規劃。動態規劃思想就是解決子問題並記錄子問題的解，這樣就不用重複解決子問題了。

動態規劃先找出子問題，咱們能夠這樣考慮：在物品比較少，揹包容量比較小時怎麼解決？用一個數組f[i][j]表示，在只有i個物品，容量爲j的狀況下揹包問題的最優解，那麼當物品種類變大爲i+1時，最優解是什麼？第i+1個物品能夠選擇放進揹包或者不放進揹包（這也就是0和1），假設放進揹包（前提是放得下），那麼f[i+1][j]=f[i][j-weight[i+1]+value[i+1]；若是不放進揹包，那麼f[i+1][j]=f[i][j]。

這就得出了狀態轉移方程：

f[i+1][j]=max(f[i][j],f[i][j-weight[i+1]+value[i+1])。

能夠寫出代碼測試：

 

#include<iostream>
using namespace std;
#define  V 1500
unsigned int f[10][V];//全局變量，自動初始化爲0
unsigned int weight[10];
unsigned int value[10];
#define  max(x,y)   (x)>(y)?(x):(y)
int main()
{

    int N,M;
    cin>>N;//物品個數
    cin>>M;//揹包容量
    for (int i=1;i<=N; i++)
    {
        cin>>weight[i]>>value[i];
    }
    for (int i=1; i<=N; i++)
        for (int j=1; j<=M; j++)
        {
            if (weight[i]<=j)
            {
                f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-weight[i]]+value[i]);
            }
            else
                f[i][j]=f[i-1][j];
        }

    cout<<f[N][M]<<endl;//輸出最優解

}

在hihocoder上面還講到能夠進一步優化內存使用。上面計算f[i][j]能夠看出，在計算f[i][j]時只使用了f[i-1][0……j]，沒有使用其餘子問題，所以在存儲子問題的解時，只存儲f[i-1]子問題的解便可。這樣能夠用兩個一維數組解決，一個存儲子問題，一個存儲正在解決的子問題。

 

再進一步思考，計算f[i][j]時只使用了f[i-1][0……j]，沒有使用f[i-1][j+1]這樣的話，咱們先計算j的循環時，讓j=M……1，只使用一個一維數組便可。

for i=1……N

for j=M……1

f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]+value[i])

 

#include<iostream>
using namespace std;
#define  V 1500
unsigned int f[V];//全局變量，自動初始化爲0
unsigned int weight[10];
unsigned int value[10];
#define  max(x,y)   (x)>(y)?(x):(y)
int main()
{

    int N,M;
    cin>>N;//物品個數
    cin>>M;//揹包容量
    for (int i=1;i<=N; i++)
    {
        cin>>weight[i]>>value[i];
    }
    for (int i=1; i<=N; i++)
        for (int j=M; j>=1; j--)
        {
            if (weight[i]<=j)
            {
                f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]]+value[i]);
            }
        }

    cout<<f[M]<<endl;//輸出最優解

}

在看完01揹包問題，再來看徹底揹包問題：一個揹包總容量爲V，如今有N個物品，第i個 物品體積爲weight[i]，價值爲value[i]，每一個物品都有無限多件，如今往揹包裏面裝東西，怎麼裝能使揹包的內物品價值最大？

 

對比一下，看到的區別是，徹底揹包問題中，物品有無限多件。往揹包裏面添加物品時，只要當前揹包沒裝滿，能夠一直添加。那麼狀態轉移方程爲：

f[i+1][j]=max(f[i][j-k*weight[i+1]+k*value[i+1])，其中0<=k<=V/weight[i+1]

使用內存爲一維數組，僞代碼

 

for i=1……N

for j=1……M

f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]+value[i])

和01揹包問題惟一不一樣的是j是從1到M。01揹包問題是在前一個子問題（i-1種物品）的基礎上來解決當前問題（i種物品），向i-1種物品時的揹包添加第i種物品；而徹底揹包問題是在解決當前問題（i種物品），向i種物品時的揹包添加第i種物品。

代碼以下：

 

#include<iostream>
using namespace std;
#define  V 1500
unsigned int f[V];//全局變量，自動初始化爲0
unsigned int weight[10];
unsigned int value[10];
#define  max(x,y)   (x)>(y)?(x):(y)
int main()
{

    int N,M;
    cin>>N;//物品個數
    cin>>M;//揹包容量
    for (int i=1;i<=N; i++)
    {
        cin>>weight[i]>>value[i];
    }
    for (int i=1; i<=N; i++)
        for (int j=1; j<=M; j++)
        {
            if (weight[i]<=j)
            {
                f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]]+value[i]);
            }
        }

    cout<<f[M]<<endl;//輸出最優解

}