關於WQS二分算法以及其一個細節證實

應用分析

　　它的做用就是題目給了一個選物品的限制條件，要求恰好選$m$個，讓你最大化（最小化）權值，

　　而後其特色就是當選的物品越多的時候權值越大（越小）。

算法分析

　　咱們先不考慮物品限制條件，

　　假定咱們要最大化權值。

　　而後其中咱們二分一個$C$，表示選一次物品的附加權值，

　　若是咱們$C$越大，咱們選的物品個數越多，權值越大，

　　因而當選的物品個數大於$m$時，減少$C$，不然增大$C$，

　　最後計算答案的時候去掉$C$值的影響便可。

　　Updata:這回仍是講一講算法吧-->理論算法分析

　　首先咱們拿到一個題，而後發現有一個重要的條件：一共有n個數(下面有時候會稱爲"點")，要求恰好選$m$個，有某種限制，以某種方式計算和(爲了表示方便我暫且稱$h(x)$表示選第$x$個點的收益)，選多少個和怎麼選都會影響到答案

　　同時咱們通常能夠獲得一個關於n和m的dp方程$dp[i][j] = ......$,其中的複雜度通常都是$O(nm)$及以上的，沒法接受，可是通過打表發現：設選$j$的數所的到的dp最大值爲$g(j)$，而後發現$g(j)$關於$j$的斜率單調不增，也就是一個上凸包

　　而後若是這題沒有恰好選$m$個的限制的時候就能夠dp降維的話，那麼就能夠考慮一下WQS二分

　　首先咱們看一下$g$長什麼樣子(橫座標$x$表示我選多少個數,縱座標$g(x)$表示我選$x$個數的狀況下最大答案)。顯然求出$g(m)$就行了。可是問題是你求不出$g(m)$(時間複雜度高)，也就是這個凸包暫時是求不出來的，可是我知道這個形狀。

　　因而咱們考慮經過用直線切這個凸包去求$g(m)$。而後構造一條直線,去切這個凸包，顯然我能夠獲得一個最大值(切到的那個點就是當前$x$的最大值)，可是這個最大值不必定是取在題目要求的m的，例如我如今令m=7，而後我隨便拿一條斜率=$k$的直線去切，可是不是每一條直線均可以使$x=m$：

(爲了方便後面我移動了一下$x=7$的點)

 

　　咱們發現斜率爲$k$的直線切這個凸包上的點會切到一些點，每次切到一個點都會切到它的最大值(由於凸包上每個點都是在固定選多少個數的狀況下)

　　而後咱們就能夠調整直線的斜率，而後直線就能夠切到不一樣的位置，咱們發現因爲$g(x)$的斜率單調，因此直線斜率$k$切到的點的$x$一樣單調，也就是斜率越大$x$越大。

　　咱們首先假設去枚舉一個斜率爲$k$的直線，而後咱們要求這個切到了凸包的哪一個位置，也就是$x$和$g(x)$，咱們如何去求這個東西呢?咱們發現斜率爲$k$直線切到的點在凸包上能夠獲得一條完整的直線$y=kx+b$，而後其中切到的點的$b$比其它點的$b$都要大，也就是下圖：

　　而後咱們知道$b=y-kx$，換句話說$截距=g(x)-k*x$。怎麼求出這個斜率呢？咱們觀察這個式子，式子等價於：設$f(x)$爲我在沒有固定選多少個點(可是我已經選了x個點)時的答案(也就是截距)，一開始不求截距的話$f(x)=g(x)$，若是求截距的話我每選一個點那麼$f(x)$就$-=k$，最終的答案$f(x)=g(x)-k*x$，也就是我只要把每一個數的$h(x)-=k$而後正常求一下在選任意個數的狀況下最大$f(x)$是多少。這個東西用dp去作，通常能夠作到$O(n)$，並且dp的同時咱們還能夠知道當$f(x)$最大的時候的$x$是多少。也就意味着我知道了$g(x)$和$x$了！！！

　　而後我如今拿着求出來的$g(x)$和$x$，因而就能夠知道我二分大了仍是小了，最後直到二分到$m$便可。

　　關於$g(x)$斜率相等，若是不在答案附近那就沒有影響，若是在答案附近，那麼當我二分出來的$x \geq m$的時候更新答案便可，由於你能夠構造出一種合法的方案能夠是$x=m$可是答案相等。

問題分析

　　這看起來是沒什麼問題的，然而咱們考慮一件事情，就是若是咱們最終要求$C$是個小數才能恰好選出m怎麼辦？

　　有人說：小數二分啊

　　然而結果是

　　因此小數二分會致使效率不高。

　　咱們思考一個問題：咱們真的須要獲得精確的$C$嗎？

　　實際上是不須要的，咱們只須要在一個那個正確的$C$下的方案便可，由於$C$在最後從答案中減去了。

　　然而可能出現一種狀況，我假定二分到了$mid$,$mid$會使選的物品數爲$m-1$,$mid+1$會使選的物品數爲$m+1$......

　　因而咱們思考：能不能不二分到小數？

　　答案是能夠的：

　　咱們二分，當$選的物品個數 \geq m$時咱們更新答案，同時排序上作點手腳。

　　爲何？

　　理論的分析就是上面那張圖因爲$x$是一個整數，而後你切出來的直線的斜率$k$在一個範圍內都是落在同一個$x$點上。

　　接下來多是一個比較不理論的證實

基於bzoj2654 tree的證實

　　題意大概是：

　　給你一個N個點M條邊無向帶權連通圖，每條邊是黑色或白色。讓你求一棵最小權的剛好有K條白色邊的生成樹。

　　解法就是WQS二分+MST

　　然而這題的二分就有上面的問題

　　反證：不存在沒有白邊黑邊相等的狀況會出現二分在$mid$和$mid+1$的C不肯定

　　首先：若是沒有白邊黑邊相等，咱們假定白邊權值爲$w_1,w_2,w_3..w_x$，黑邊$b_1,b_2,b_3...b_y$，兩次枚舉的C爲爲$C_1+1=C_2$，$w_1+C_2 \neq b_1 ...$（因此是$white \geq need$） ...

　　那麼若是發生二分C值無解的狀況，那麼兩個C1,C2（$C2=C1+1$）致使的至少選出來的白邊數量至少差了2（need-1&&need+1），因爲差距大於2的和二的狀況在下面等價，因此咱們先考慮差距爲2

　　而後因爲若是讓兩條白邊與黑邊的權值大小關係改變，那麼咱們至少須要讓2條白邊+1後的結果分別大於等於2條黑邊

　　因此須要考慮的兩種狀況就是 有兩條白邊的權值=兩條黑邊的權值-1 或 兩條白邊的權值=兩條黑邊的權值（基於C1） 

　　注意咱們尚未考慮連通性，可是這是必要條件

　　因爲第一種狀況直接不符合題設，咱們直接忽略，咱們考慮第二種狀況，這種狀況下C可能在C一、C2中間。因爲此時的白邊權值在C1下等於黑邊權值，那麼咱們能夠發現其實C1狀態下選黑邊白邊邊權等價。選擇致使的不知足K的答案是合法的，由於咱們可能會先統計黑邊，使得白邊沒有被統計而後致使不知足K。然而這個問題咱們能夠直接經過在排序的時候容許第二關鍵字（按照顏色（這題白色優先））排序使得這種狀況合法化。

　　因此提出的兩種無解狀況均不存在或者是能夠經過算法避免 

若是有不嚴謹出請指正

然而我並無寫證實的經驗