Luogu P4552 IncDec Sequence 題解

IncDec Sequence

題目描述

給定一個長度爲 n n n的數列 a 1 , a 2 , a 3 , … ， a n a_1, a_2, a_3,…，a_n a1​,a2​,a3​,…，an​每次能夠選擇一個區間 [ L , R ] [L,R] [L,R]，使這個區間內的全部數都 + 1 +1 +1或者 − 1 -1 −1。請問至少須要多少次操做才能使數列中全部數都同樣，並求出在保證最少次數的前提下，最終獲得的數列有多少種。

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分析

這道題用差分作。
對於原數列，求出它的差分數列 b i b_i bi​。咱們如今要作的事情就是：把差分數列 b 2 b_2 b2​ 到 b n b_n bn​所有變爲0。那麼原題中提供的操做，實際上就能夠理解爲：選取兩個天然數 L R LR LR，讓 b [ L ] b[L] b[L]增長1，讓 b [ R + 1 ] b[R+1] b[R+1]減小1（這就是差分的最基本原理）。
咱們有這麼幾種操做的策略：
1.將差分數列（除去 b 1 b_1 b1​）中的正負數相互配對，咱們記差分數列中正數和爲 p o s pos pos，咱們記差分數列中負數和的絕對值爲 n e g neg neg，那麼咱們最多能夠操做 min ⁡ { p o s ， n e g } \min\{pos，neg\} min{ pos，neg}次。
2.將 b 1 b_1 b1​和 b i ( i ∈ [ 2 ， n ] ) b_i(i∈[2，n]) bi​(i∈[2，n])配對。
3.將原序列 a i a_i ai​之後全部元素都操做，也就是在差分序列中只改變 b i b_i bi​
4.只改變 b 1 b_1 b1​是沒有任何意義的。由於全部數都改變了，仍是沒能達到相等。
咱們能發現，操做1對最後相等的那個數是沒有改變的。而操做2和操做3對最後的那個數是有影響的。那麼操做2和操做3總共須要操做 ∣ p − q ∣ |p-q| ∣p−q∣次。
綜上所述，最終最少須要的操做是 min ⁡ { p o s , n e g } \min \{pos, neg\} min{ pos,neg} + ∣ p o s − n e g ∣ + |pos - neg| +∣pos−neg∣ max ⁡ { p o s , n e g } \max\{pos, neg\} max{ pos,neg}。能造成的序列數爲 ∣ p o s − n e g ∣ + 1 |pos - neg| + 1 ∣pos−neg∣+1種。

code

int read () { 
    int num = 0; char c = ' '; int flag = 1;
    for (;c > '9' || c < '0'; c = getchar ())
        if (c == '-')
            flag = 0;
    for (;c >= '0' && c <= '9'; num = (num << 3) + (num << 1) + c - 48, c = getchar ());
    return flag ? num : - num;
}
const int maxn = 100200;
long long a[maxn], n, b[maxn];
long long max (long long a, long long b) { 
	return a > b ? a : b;
}
int main () { 
	n = read ();
	for (int i = 1;i <= n;i ++) { 
		a[i] = read ();
		b[i] = a[i] - a[i - 1];
	}
	long long pos = 0, neg = 0;
	for (int i = 2;i <= n;i ++)
		if (b[i] > 0) pos += b[i];
			else neg -= b[i];
	long long ans = max (pos, neg);
	printf ("%lld\n%lld", ans, abs (pos - neg) + 1);
	return 0;
}