計量經濟學導論12：格蘭傑因果關係檢驗

目錄

• 格蘭傑因果關係檢驗
  • 時間序列向量自迴歸模型
    • 向量自迴歸模型設定
    • 向量自迴歸模型的估計
  • 格蘭傑因果關係檢驗
  • 格蘭傑因果關係檢驗的實際問題

格蘭傑因果關係檢驗

時間序列向量自迴歸模型

格蘭傑因果關係檢驗在時間序列計量經濟學模型中被普遍採用，在討論其細節以前，咱們須要對向量自迴歸模型做簡單的介紹。

向量自迴歸模型設定

將單個時間序列自迴歸模型擴展到多個時間序列，即構成向量自迴歸模型。寫出含有 \(k\) 個時間序列，\(p\) 階滯後的向量自迴歸模型 \({\rm VAR}(p)\) 表示以下：

\[\boldsymbol{Y}_t=\boldsymbol\mu+\boldsymbol{A}_1\boldsymbol{Y}_{t-1}+...+\boldsymbol{A}_p\boldsymbol{Y}_{t-p}+\boldsymbol{\varepsilon}_t \ , \ \ \ \ t=1,2,...,T \ . \]

咱們將矩陣形式展開寫， \({\rm VAR}(p)\) 模型包括：

\[\boldsymbol{Y}_{t-i}=\left[ \begin{array}{c} Y_{1,t-i} \\ Y_{2,t-i} \\ \vdots \\ Y_{k,t-i} \\ \end{array} \right] \ ,\ \ \ \ i =0,1,2,\cdots,p \ . \]

\[\boldsymbol{A}_j=\left[ \begin{array}{cccc} a_{11,j} & a_{12,j} & \cdots &a_{1k,j} \\ a_{21,j} & a_{22,j} & \cdots &a_{2k,j} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{k1,j} & a_{k2,j} & \cdots &a_{kk,j} \\ \end{array} \right] \ , \ \ \ \ j=1,2,\cdots,p \ . \]

\[\boldsymbol\mu=(\mu_1,\mu_2\,...,\mu_k)^{\rm T} \ ,\ \ \ \ \boldsymbol\varepsilon_t=(\varepsilon_{1t},\varepsilon_{2t},...,\varepsilon_{kt})^{\rm T} \ . \]

具體看一下 \({\rm VAR}(p)\) 模型的結構：

• \(\boldsymbol{Y}_t\) 是 \(k\) 維內生變量向量，\(p\) 是滯後階數，樣本數目爲 \(T\) ；
• \(\boldsymbol{A}_1,\boldsymbol{A}_2,\cdots,\boldsymbol{A}_p\) 是 \(k\times k\) 係數矩陣；
• \(\boldsymbol{\varepsilon}_t\sim N(\boldsymbol0,\,\boldsymbol\Sigma)\) 是 \(k\) 維隨機擾動向量，它們相互之間能夠同期相關，但不與本身的滯後項相關；
• \(\boldsymbol\Sigma\) 是 \(\boldsymbol\varepsilon_t\) 的協方差矩陣，是一個 \(k\times k\) 的正定矩陣。

\({\rm VAR}\) 模型主要是經過實際經濟數據而非經濟理論來肯定的經濟系統的動態結構模型。

在建模的過程當中只需明確兩個量，一個是所含變量個數 \(k\) ，即共有哪些變量是相互有關係的，而且須要把這些變量包括在 \({\rm VAR}\) 模型中；另外一個是自迴歸的最大滯後階數 \(p\) ，使模型能反映出變量間相互影響的關係並使得模型的隨機偏差項 \(\boldsymbol\varepsilon_t\) 是白噪聲。

\({\rm VAR}\) 模型不存在識別問題和內生解釋變量問題，每一個方程均可以看作獨立的方程進行普通最小二乘參數估計。

向量自迴歸模型的估計

模型最優滯後階數的肯定：

• 一方面想要使得滯後階數足夠大，以便能充分利用所構造模型的變量信息。
• 另外一方面，滯後階數不能過大，由於滯後階數越大，須要估計的參數越多模型的自由度就越少，而一般數據有限，可能不足於估計模型。
• 經常使用準則：\({\rm AIC}\) ，\({\rm SC}\) 。

格蘭傑因果關係檢驗

原理：\({\rm VAR}\) 模型解釋了某變量的變化受其自身及其餘變量過去的行爲的影響。當兩個變量在時間上有先導即滯後關係時，能夠從統計上考察這種關係是單向的仍是雙向的。

格蘭傑因果關係檢驗的表述以下：

在時間序列情形下，兩個經濟變量 \(X\) 和 \(Y\) 之間的格蘭傑因果關係定義爲：若在包含了變量 \(X\) 和 \(Y\) 的歷史信息的條件下，對變量 \(Y\) 的預測效果只要優於只單獨由 \(Y\) 的歷史信息對 \(Y\) 進行的預測效果，即變量 \(X\) 有助於解釋變量 \(Y\) 的未來的變化，則認爲變量 \(X\) 是變量 \(Y\) 的格蘭傑緣由。

考察 \(X\) 是否影響 \(Y\) 的問題，主要看當期的 \(Y\) 可以在多大程度上被過去的 \(X\) 解釋，在 \(Y_t\) 方程中加入 \(X\) 的滯後項是否使解釋程度顯著提升。

首先創建 \({\rm VAR}\) 模型：

\[Y_t=\sum_{i=1}^m\alpha_iX_{t-i}+\sum_{i=1}^m\beta_iY_{t-i}+\mu_{1t} \ , \]

\[X_t=\sum_{i=1}^m\lambda_iY_{t-i}+\sum_{i=1}^m\delta_iX_{t-i}+\mu_{2t} \ . \]

有四種可能存在的因果關係：

• 若 \(X\) 對 \(Y\) 有單向影響：\(\alpha\) 總體不爲零，\(\lambda\) 總體爲零。

• 若 \(Y\) 對 \(X\) 有單向影響：\(\alpha\) 總體爲零，\(\lambda\) 總體不爲零。

• 若 \(X\) 對 \(Y\) 有單向影響：\(\alpha\) 和 \(\lambda\) 總體不爲零。

• 若 \(X\) 對 \(Y\) 有單向影響：\(\alpha\) 和 \(\lambda\) 總體爲零。

格蘭傑檢驗經過受約束的 \(F\) 檢驗完成。例如：

\[Y_t=\sum_{i=1}^m\alpha_iX_{t-i}+\sum_{i=1}^m\beta_iY_{t-i}+\mu_{1t} \ , \]

\[H_0:\alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_m=0 \ , \]

\[F=\frac{({\rm SSR}_r-{\rm SSR}_{ur})/m}{{\rm SSR}_{ur}/(n-k)} \ . \]

若是 \(F>F_\alpha(m,\,n-k)\) 則拒絕 \(X\) 不是 \(Y\) 的格蘭傑緣由的原假設。

\[X_t=\sum_{i=1}^m\lambda_iY_{t-i}+\sum_{i=1}^m\delta_iX_{t-i}+\mu_{2t} \ , \]

\[H_0:\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_m=0 \ , \]

\[F=\frac{({\rm SSR}_r-{\rm SSR}_{ur})/m}{{\rm SSR}_{ur}/(n-k)} \ . \]

若是 \(F<F_\alpha(m,\,n-k)\) 則不拒絕 \(Y\) 不是 \(X\) 的格蘭傑緣由的原假設。

綜上所述，\(X\) 是 \(Y\) 的格蘭傑緣由。

關於 \(F\) 檢驗的自由度：若是迴歸模型中包含常數項，則 \(k=2m+1\) ，若是不包括常數項（如差分模型），則 \(k=2m\) 。

格蘭傑因果關係檢驗的實際問題

滯後期長度的選擇問題。檢驗結果對於滯後期長度的選擇比較敏感，不一樣的滯後期可能會獲得不一樣的檢驗結果。所以，通常而言，須要進行不一樣滯後期長度下的檢驗，觀測其敏感程度，而且根據模型中隨機干擾項不存在序列相關時的滯後期長度來選取滯後期。

時間序列的平穩性問題。格蘭傑因果關係檢驗是針對平穩時間序列的。對於同階單整的非平穩序列，理論上不能直接採用。若是將變量通過差分使之成爲平穩序列以後再進行檢驗，經濟意義就發生了變化，檢驗的就不是兩個變量之間的關係，而是兩個變量的增量之間的關係。

樣本容量的問題。時間序列的樣本容量對檢驗結果具備影響。試驗代表，對於兩個平穩序列，隨着樣本容量的增大，判斷出存在格蘭傑因果關係的機率顯著增大。

格蘭傑因果關係檢驗是必要性條件檢驗，而不是充分性條件檢驗。經濟行爲上存在因果關係的時間序列，是可以經過格蘭傑因果關係檢驗的；而在統計意義上經過格蘭傑因果關係檢驗的時間序列，在經濟行爲上並不必定存在因果關係。