學習：數學----gcd及擴展gcd

 

gcd及擴展gcd能夠用來求兩個數的最大公因數，擴展gcd甚至能夠用來求一次不定方程ax+by=c的解

 

展轉相除法與gcd

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假設有兩個數a與b，如今要求a與b的最大公因數，咱們能夠設

　　a=b*q+p

　　若是a是與b的最大公約數是gcd(a,b)，那麼b與p的最大公約數也是gcd(a,b)

即

　　gcd(a,b)=gcd(b,p)=gcd(b,a%b)，而後咱們令a=b，b=a%b，而後再進行以上步驟

　　以此類推，a與b的值會愈來愈小，直到某一時刻a變成了b的倍數，使得a%b=0，可是後來賦值使得a=b，b=a%b，因此等到b=0的時候，a的值就是原來a與b的最大公約數了。

 

證實在循環過程當中必定存在某一時刻，使得a爲b的倍數：

　　因爲當a爲正數（負數）時，a%b的值必定是正數（負數），也就是說，當b的值不斷減少，最多也就減少到1（-1），而此時a必定是b的倍數。固然，不必定只有當b減少到1（-1）時，纔會出現a%b=0，只要當b等於原來a和b最大公約數的時候，就必定會發生a%b=0

 

1 long long getGcd(long long _a,long long _b){ 2     if(_b==0)    return _a; 3     else    return getGcd(_b,_a%_b); 4 }

gcd

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裴蜀定理

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　　ax + by = m

　　有解當且僅當m是gcd(a,b)的倍數。裴蜀等式有解時必然有無窮多個整數解，每組解x、y都稱爲裴蜀數，可用展轉相除法求得。

 

重要推論：

　　a,b互質的充要條件是存在整數x,y使ax+by=1.

特別的：

　　方程 ax + by = 1 有解當且僅當整數a和b互素。

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擴展gcd

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前言

　　擴展gcd是在普通的gcd上作了一些升級，擴展gcd不只能夠求出a和b最大公約數，還能夠求出ax+by=gcd(a,b)的一組解，進而能夠求出ax+by=gcd(a,b)以及ax+by=c的解集

 

 

求ax+by=gcd(a,b)的一組解（擴展gcd）

經過gcd能夠知道

　　gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

又由於

　　ax+by=gcd(a,b)

由普通gcd，能夠經過a=b，b=a%b代換得

　　bx+a%b*y=gcd(b,a%b)

所以

　　ax+by=bx+a%b*y=bx+(a-[a/b]*b)*y=bx+ay-[a/b]*b*y=ay+(x-[a/b]*b*y)

能夠獲得x與y的更新式

　　x'=y，y'=x-[a/b]*b

注意一點，若是當b=0時，那麼ax+by=gcd(a,b)=a，此時xy的更新式爲

　　x'=1，y'=0；

 

 

求ax+by=c的一組解

　　經過擴展gcd，能夠獲得ax'+by'=gcd(a,b)的解x'與y',若是ax+by=c存在整數解，根據裴蜀定理可知必定知足條件c是gcd(a,b)的倍數

所以，將等式左右兩邊乘c/gcd(a,b),獲得:

　　ax'*c/gcd(a,b)+by'*gcd(a,b)=ax+by=c

因而，獲得了ax+by=c的解爲：x=x'*c/gcd(a,b),y=y'*c/gcd(a,b)，其中x'和y'是經過擴展gcd求出的一組解

 

 

ax+by=c及ax+by=gcd(a,b)的解集表示

　　假設咱們得出ax+by=c一組解x與y，若是x每減去一個t（t爲常數），那麼y至少必須加上一個（a'*t/b'（其中a'=a/gcd(a,b)，b'=b/gcd(a,b)）），才能使等式兩邊成立,即

　　a(x-t)+b(y+a'*t/b')=ax+by=c

　　因爲咱們須要變換後的x和y仍然是整數，因爲t已是整數，即x-t也必定是整數，如今只需考慮a'*t/b'是否爲整數，因爲gcd(a',b')=1，即a'必定不是b'的倍數，故必須令t=t*b'(即t必須是b'的倍數)，才使得a'*t/b'爲整數，即解集爲：

　　x=x-t*b/gcd(a,b)，y=y+t*a/gcd(a,b)，t爲任意整數

特別的，當gcd(a,b)=1，解集爲：x=x-t*b，y=y+t*a

 

 

求ax+by=c的非負整數解（important）

　　非負整數解：x與y都爲非負數，且x與y都與0比較接近的解

ps：令gcd(a,b)=gcd，如下計算以前應該先把a=a/gcd，b=b/gcd，由於解集中x是加減b/gcd，同理y，這樣能夠防止獲得的解不是最小解。

考慮三種狀況：

　　(1).當a,b>0，c>0

　　這種狀況可能存在x與y都爲非負整數的解，且當x爲x解集中最小的非負整數時，若是此時對應的y爲非負整數，那麼就存在一組最小非負整數解；若是此時y爲負數，那麼就必定不存在最小非負整數解。

此時

　　x=(x%b+b)%b，y=(c-a*gcd*x)/(b*gcd)

可是此時x的確的相對於y來講更接近0，可是y可能並非很接近0，好比解50x+y=100，用這種方法解出來的解爲x=0,y=100，相對於x=2,y=0來說並非最優解，此時讓y更接近0纔得到更好的答案，所以能夠優化解，此時：

　　當a>=b時，y=(y%a+a)%a，x=(c-b*gcd*y)/(a*gcd);

　　當a<b時，x=(x%b+b)%b，y=(c-a*gcd*x)/(gcd*b);

這樣以來，就能夠經過a與b的大小，來判斷哪一個未知數接近0能夠得到更完美的解

 

　　(2).當a,b>0，c<0

　　這種狀況必定不會出現最小非負整數解，可是爲了讓解更加接近0，由於當c>0和當c<0是一種對稱狀況，若是存在一組x與y，是得當a,b>0，c>0時的最小非負整數解，那麼-x與-y就必定是c<0時的最接近0的解。

此時

　　當a>=b時，y=-(y%a+a)%a，x=(c-b*gcd*y)/(a*gcd);

　　當a<b時，x=-(x%b+b)%b，y=(c-a*gcd*x)/(b*gcd);

 

　　(3).當a>0，b<0   或   a<0，b>0

　　此時方程能夠當作ax-b'y=c(a*b'>0)，這時必定存在d與e，使得d-e=c，即ax-b'y=d-e，能夠變形爲e+ax=d+b'y

這個式子能夠看作：

　　sum1=e+ax，sum2=d+b'y，sum1等於e加上x個a，sum2等於d加上y個b'，當sum1與sum2第一次相同（因爲a*b'>0，當a與b同小於0時，第一次相同的時sum1=sum=sum，sum必定小於e和d，同理a與b'大於0）時，x與y的值爲多少？

　　當d>e  =>  c>0時，當y>0時，x必定大於0，此時讓y取解集中靠近0非負解，獲得的x與y必定是最小非負解

此時：x=x%b<0?x%b+(b<0?-b:b):x%b，y=(c-a*gcd*x)/(b*gcd);

　　當d<e  =>  c<0時，當x>0時，y必定大於0，此時讓x取解集中靠近0非負解，獲得的x與y必定是最小非負解

此時：y=y%a<0?y%a+(a<0?-a:a):y%a，x=(c-b*gcd*y)/(a*gcd);

　　(固然，這個狀況的求最小解的方法公式也能夠獲得其餘狀況的最小解)

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總結代碼

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求：

1.a與b的最大公因數

2.求ax+by=c的某一個解

3.求ax+by=c的最小正整數解（若是不存在則求靠近0，0的解）

#include <iostream>
using namespace std;
/*1*/long long getGcd(long long _a,long long _b){
    if(_b==0)    return _a;
    else    return getGcd(_b,_a%_b);
}
/*2*/long long getExgcd(long long _a,long long _b,long long &_x,long long &_y){
    if(_b==0){
        _x=1,_y=0;
        return _a;
    }    
    long long _gcd=getExgcd(_b,_a%_b,_x,_y);
    long long _rx=_x;
    _x=_y;
    _y=_rx-_a/_b*_y;
    return _gcd; 
}
/*3*/long long getAnyCalc(long long _a,long long _b,long long _c,long long &_x,long long &_y){
    long long _gcd=getExgcd(_a,_b,_x,_y);
    if(_c%_gcd)    return -1;
    long long _transit=_c/_gcd;
    _x*=_transit;_y*=_transit;
    return _gcd;
}
/*4*/long long getUpCalc(long long _a,long long _b,long long _c,long long &_x,long long &_y){
    long long _gcd=getExgcd(_a,_b,_x,_y);
    if(_c%_gcd)    return -1;
    long long _transit=_c/_gcd;
    _x*=_transit;_y*=_transit;
    long long __a=_a,__b=_b;
    _a/=_gcd;_b/=_gcd;
    _x=_x%_b<0?_x%_b+(_b<0?-_b:_b):_x%_b;
    _y=_y%_a<0?_y%_a+(_a<0?-_a:_a):_y%_a;
    if(_c<0)    _y=(_c-__a*_x)/__b;
    else    _x=(_c-__b*_y)/__a;
    return _gcd;
}
int main(){
    getGcd(long long a,long long b)//1
    getAnyCalc(long long a,long long b,long long c,long long x,long long y)//2,3
    getUpCalc(long long a,long long b,long long c,long long x,long long y)//2,4
}

三小問代碼

使用說明：函數getGcd(long long a,long long b)求a與b的最大公約數（須要1號函數）

　　　　　函數getAnyCalc(long long a,long long b,long long c,long long x,long long y)求ax+by=c的某一個解（不存在解返回-1，存在返回gcd（a,b），解x與y傳的是引用）（須要2，3號函數）

　　　　　函數getUpCalc(long long a,long long b,long long c,long long x,long long y)求ax+by=c的最小非負整數解（不存在解返回-1，存在解且不存在最小非負整數解則獲得的解爲靠近（0，0）的解且返回的是gcd（a,b））（須要2，4號函數）

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例題

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1.江西財經大學第二屆程序設計競賽同步賽----H-大時鐘：https://blog.csdn.net/weixin_43702895/article/details/89422929