https://www.zybuluo.com/ysner/note/1242342
##題面 某人在玩一個很是神奇的遊戲。這個遊戲中有一個左右各$n$個點的二分圖，圖中的邊會按照必定的規律隨機出現。 爲了描述這些規律，某人將這些邊分到若干個組中。每條邊只屬於一個組。 有且僅有如下三類邊的分組：(用$t$表示）node
- 這類組每組只有一條邊，該條邊剛好有$50%$的機率出現。
- 這類組每組剛好有兩條邊，這兩條邊有$50%$的機率同時出現，有$50%$ 的機率同時不出現。
- 這類組每組剛好有兩條邊，這兩條邊剛好出現一條，各有$50%$的機率出現。
組和組之間邊的出現都是徹底獨立的。 某人如今知道了邊的分組和組的種類，詢問完美匹配數量的指望是多少，輸出$2^nE$（$E$指指望）ios
- $20pts\ n\leq10$
- $5pts\ t=0,m=n^2$
- $15pts\ t=0$
- $100pts\ n\leq15$ ##解析 其實沒有注意到某$5pts$的選手仍是很。。。
能夠把題目轉化一下，應用映射思想，把左邊點一一配對的右邊點的順序視做一個序列。(容許不配對） 如左$1$配右$2$,左$2$配右$4$，左$3$不配，左$4$配右$1$。 造成序列爲$24_1$。 ###$5pts\ m=n^2$ 很顯然這個（映射）序列能夠是全排列。 邊的總方案數$2^m$，完美匹配方案數$n!2^{m-n}$，則$$E=\frac{n!2^{m-n}}{2^m}=\frac{n!}{2^n}$$ 最後$ans=n!$ ###$20pts$算法 咱們能夠枚舉一下點完美匹配的方案，再統計方案數。算法
可是怎麼反映邊與邊之間的關係呢？ 這一點能夠聯想一下網絡流的技巧：拆點。 第一類不用說。 第二類兩條邊的編號相同。 第三類兩條邊的編號差$m$。 依此，在檢驗合法性時，若$i$與$i+m$同時存在即不合法; 在統計方案數時,在該匹配下$i$與$i+m$均未用到，則該組邊出不出現皆可，該匹配下方案數$*2$。網絡
最後，邊出現的總方案數爲$2^m$，完美匹配方案數爲$ans$，則指望爲$E=\frac{ans}{2^m}$ 最終答案爲$$\frac{ans*2^n}{2^m}$$ 複雜度$O(n!m)$url
il void check()
{
memset(b,0,sizeof(b));
fp(i,1,n) b[p[i]]=1;
re ll sum=1;
fp(i,1,m)
{
if(b[i]&&b[i+m]) return;
if(!b[i]&&!b[i+m]) (sum*=2)%=mod;
}
(ans+=sum)%=mod;
}
il void dfs(re int x)
{
if(x>n) {check();return;}
fp(i,1,n)
if(!vis[i]&&id[x][i])
{
p[x]=id[x][i];vis[i]=1;
dfs(x+1);
vis[i]=0;
}
}
int main()
{
n=gi();m=gi();
if(m==n*n)
{
ans=1;
fp(i,1,n) (ans*=i)%=mod;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
if(n<=10)
{
fp(i,1,m)
{
re int t=gi(),u=gi(),v=gi(),u1,v1;
if(t) u1=gi(),v1=gi();
if(t==0) id[u][v]=i;
if(t==1) id[u][v]=id[u1][v1]=i;
if(t==2) id[u][v]=i,id[u1][v1]=i+m;
}
dfs(1);
printf("%lld\n",ans*ksm(ksm(2,m),mod-2)%mod*ksm(2,n)%mod);
}
return 0;
}
###$40pts$算法 其實我不太會？？？ ###$100pts$算法 把雙邊組看作互不干擾的、出現機率爲$50%$的邊。若是這樣，第二類組合邊出現機率會少算 $25%$（同時出現的機率爲$25%$)，第三類組合邊出現機率會多算$25%$(只出現一條的機率爲$50%$)。咱們能夠分別爲這兩組建$+25%,-25%$的邊將這個機率抵消（由於各組獨立）。spa
舉個例子，在第二類中，兩條邊同時出現的機率爲$50%*50%+25%=50%$,不一樣時出現的機率爲$1-25%-(50%*50%)=50%$，符合要求。.net
而後記憶化搜索，$f[S]$表示$S$集合內的點的完美匹配的指望方案數，爲了保證選邊的有序性並同時減小狀態數，$f[S]$由$f[S1]$轉移過來時，要求$S$最高位比$S1$的最高位高。code
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<map>
#define re register
#define il inline
#define ll long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define fp(i,a,b) for(re int i=a;i<=b;i++)
#define fq(i,a,b) for(re int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
const int mod=1e9+7,N=10000,inv2=mod+1>>1,inv4=mod+1>>2;
struct node
{
int s,w;
il node(){s=w=0;}
il node(re int x,re int y){s=x,w=y;}
}a[N];
int tot,n,m;
map<int,int>f[1<<16];
il int gi()
{
re int x=0,t=1;
re char ch=getchar();
while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9')) ch=getchar();
if(ch=='-') t=-1,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return x*t;
}
il int dfs(re int S)
{
if(!S) return 1;
re int T0=S>>n,S0=S^(T0<<n);
if(f[S0].count(T0)) return f[S0][T0];
re int &tmp=f[S0][T0];
fp(i,1,tot)
{
re int T=a[i].s;
if((T&S)==T&&S<(T<<1)) (tmp+=1ll*dfs(S^T)*a[i].w%mod)%=mod;
}
return tmp;
}
int main()
{
n=gi();m=gi();
fp(i,1,m)
{
re int t=gi(),u=gi(),v=gi(),u1,v1;
re int S1=(1<<(u-1))|(1<<(v+n-1));
a[++tot]=node(S1,inv2);
if(t)
{
u1=gi(),v1=gi();
re int S2=(1<<u1-1)|(1<<v1+n-1);
a[++tot]=node(S2,inv2);
if(S1&S2) continue;
if(t==1) a[++tot]=node(S1|S2,inv4);
if(t==2) a[++tot]=node(S1|S2,mod-inv4);
}
}
//printf("%d\n",tot);
printf("%lld\n",(1ll<<n)*dfs((1ll<<(2*n))-1)%mod);
return 0;
}