和爲S的連續正數序列

題目描述

小明很喜歡數學,有一天他在作數學做業時,要求計算出9~16的和,他立刻就寫出了正確答案是100。可是他並不知足於此,他在想究竟有多少種連續的正數序列的和爲100(至少包括兩個數)。沒多久,他就獲得另外一組連續正數和爲100的序列:18,19,20,21,22。如今把問題交給你,你能不能也很快的找出全部和爲S的連續正數序列? Good Luck!

輸出描述:
輸出全部和爲S的連續正數序列。序列內按照從小至大的順序，序列間按照開始數字從小到大的順序。

思路

題目意思是求一組公差爲1和爲sum的等差數列。

• 方法1（推薦）：
  快慢指針滑動窗口。
  設置兩個指針指向等差數列左右兩端，利用等差數列求和公式驗證。
  右指針右移一步，至關於拿一個未使用的最小值進來，
  左指針左移一步，至關於拿一個已使用的最小值出去。
  時間複雜度O(n)，空間複雜度O(1)。

• 方法2:
  等差數列求和。
  
  在本題場景中，符合條件的等差數列的長度上限，是從1開始的數列的長度。
  可能符合條件的最長的等差數列和爲n(n+1)/2，此時，d = 1， a1 = 1。
  根據不等式 Sn = n(n+1)/2，能夠求解出 n <= √（2Sn）。
  獲得數列長度n的取值範圍後，能夠直接使用Sn除以n獲得數列的平均數，從而求出數列。
  當n爲奇數時，求得的正好是等差數列中間的值。
  當n爲偶數時，求得的是均值，該均值小數部分是0.5，即Sn%n=n/2 => Sn%n*2=n。
  時間複雜度O(√n)，空間複雜度O(1)。

滑動窗口代碼（算法思惟容易接受）

import java.util.ArrayList;
public class Solution {
    public ArrayList<ArrayList<Integer> > FindContinuousSequence(int sum) {
        ArrayList<ArrayList<Integer>> list = new ArrayList<ArrayList<Integer>>();
        if(sum < 3)    return list;
        int low = 1;
        int high = 2;
        int curr = 3;
        // 判斷條件不能包含等於，至少須要包含兩個數字，因此low最大隻能到high-1。
        while(low < high) {
            curr = (low + high) * (high - low + 1)/2;
            if(curr == sum) {
                ArrayList<Integer> item = new ArrayList<Integer>();
                for(int i = low; i <= high; i++) {
                    item.add(i);
                }
                list.add(item);
                high++;
            } else if(curr < sum) {
                high++;
            } else {
                low++;
            }
        }
        return list;
    }
}

數學方法代碼（須要分析推導）

import java.util.ArrayList;
public class Solution {
    public ArrayList<ArrayList<Integer> > FindContinuousSequence(int sum) {
        ArrayList<ArrayList<Integer>> list = new ArrayList<ArrayList<Integer>>();
        if(sum < 3)    return list;
        for(int len = (int)Math.sqrt(2*sum); len > 1; len--) {
            if((len&1) == 1 && sum % len == 0 || sum % len * 2 == len) {
                int k =  sum / len - (len - 1) / 2;;
                ArrayList<Integer> item = new ArrayList<Integer>();
                for(int i = 0; i < len; i++) {
                    item.add(k++);
                }
                list.add(item);
            }
        }
        return list;
    }
}