讀《思惟的樂趣matrix67數學筆記》

今天是我第一次據說這個故事。

    1933 年，匈牙利數學家 George Szekeres 還只有 22 歲。那時，他經常和朋友們在匈牙利的首都布達佩斯討論數學。這羣人裏面還有一樣生於匈牙利的數學怪才——Paul Erdős 大神。不過當時，Erdős 只有 20 歲。

    在一次數學聚會上，一位叫作 Esther Klein 的美女同窗提出了這麼一個結論：在平面上隨便畫五個點（其中任意三點不共線），那麼必定有四個點，它們構成一個凸四邊形。Szekeres 和 Erdős 等人想了好一下子，沒想到該怎麼證實。因而，美女同窗得意地宣佈了她的證實：這五個點的凸包（覆蓋整個點集的最小凸多邊形）只多是五邊形、四邊形和三角形。前兩種狀況都已經不用再討論了，而對於第三種狀況，把三角形內的兩個點連成一條直線，則三角形的三個頂點中必定有兩個頂點在這條直線的同一側，這四個點便構成了一個凸四邊形。

    

    衆人大呼精彩。以後，Erdős 和 Szekeres 仍然對這個問題念念不忘，因而嘗試對其進行推廣。最終，他們於 1935 年發表論文，成功地證實了一個更強的結論：對於任意一個正整數 n ≥ 3，總存在一個正整數 m，使得只要平面上的點有 m 個（而且任意三點不共線），那麼必定能從中找到一個凸 n 邊形。 Erdős 把這個問題命名爲了「幸福結局問題」（Happy Ending problem），由於這個問題讓 George Szekeres 和美女同窗 Esther Klein 走到了一塊兒，兩人在 1936 年結了婚。

    對於一個給定的 n ，不妨把最少須要的點數記做 f(n)。求出 f(n) 的準確值是一個不小的挑戰。因爲平面上任意不共線三點都能肯定一個三角形，所以 f(3) = 3 。Esther Klein 的結論則能夠簡單地表示爲 f(4) = 5 。
    當 n = 5 時，八個點是不夠的。下圖就是八個不含凸五邊形的點。

    

    利用一些稍顯複雜的方法能夠證實，任意九個點都包含一個凸五邊形，所以 f(5) 等於 9 。

    2006 年，利用計算機的幫助，人們終於證實了 f(6) = 17 。對於更大的 n ， f(n) 的值分別是多少？ f(n) 有沒有一個準確的表達式呢？這是數學中懸而未解的難題之一。

    無論怎樣，最後的結局真的很幸福。結婚後的近 70 年裏，他們前後到過上海和阿德萊德，最終在悉尼定居，期間從未分開過。 2005 年 8 月 28 日， George 和 Esther 相繼離開人世，相差不到一個小時。