R語言數值積分

　　前兩天對學習了R裏面計算的基本範圍，以及一些求解方程的方法，今天來看看積分，其實上個學期學了數值分析，對這部分的算法是有所瞭解的，當時是用matlab寫了一遍，已經忘了怎麼實現的了，如今用R從新寫一遍吧，算法有梯形積分法，辛普森積分法，自適應積分法。

• 梯形積分法

　　　　梯形積分法能夠用下圖很好的解釋

　　　　就是將微積分的時候用的方法，取Δx,則一小塊面積就約等於f(x)*Δx，連續函數在Δx趨於0的時候，該公式會愈來愈精確。

###設置小數位數
options(digits = 8)
func1 <- function(x) return(4*x^3)
###梯形積分法
tixing <- function(func, a, b, n=100){
  x <- 0
  h <- (b-a)/n
  for(i in 1:n){
    x <- h*func(a+i*h) + x
  }
  return(x)
}
tixing(func1,0,1,n=10000)

###能夠看到這種近似較爲粗糙，能夠稍微改進一些
tixing2 <- function(func, a, b, n=100){
  h <- (b-a)/n
  add_by <- seq(a,b,by=h)
  f_x <- sapply(add_by,func)
  x <- h*sum(f_x[1]/2,f_x[2:n],f_x[n+1]/2)
  return(x)
}
tixing2(func1,0,1,n=100)

• 辛普森方法

　　　　辛普森方法和梯形方法相似，可是作了改進，前面咱們改進的方法用的是梯形逼近，這樣子f(x)實際上是表示成了一段直線，辛普森方法使用拋物線來擬合，可　　　　　　        以下降偏差。

　　　　這裏直接給出辛普森的計算公式

　　　　S=h/3(f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)+```+4f(xn-1)+f(xn))

　　　　

###辛普森方法
simpson <- function(func, a, b, n=100){
  h <- (b-a)/n
  
  ###奇數項
  add_by_1 <- seq(a+h,b-h,by=2*h)
  ###偶數項
  add_by_2 <- add_by_1+h
  add_by_2 <- add_by_2[-length(add_by_2)]
  x <- h/3*sum(func(a),4*sapply(add_by_1,func),2*sapply(add_by_2,func),func(b))
  return(x)
}

　　　　目前爲止咱們指定了運算次數n，而不是指定偏差來計算，固然指定偏差也是能夠的，考慮一種循環，每次n都增長1，就能夠完成這個目標了，可是這樣運算　　　　        量會愈來愈大，因此推薦使用另外一種方法，即公式自己具備的偏差，能夠又其自己和其n階導數一塊兒表示出來，具體的見數值分析相關書籍。

• 自適應積分法

　　　　這種方法我之前也沒有過接觸，書上講它的基本思想是越是陡峭（導數大）的函數，須要的分割越細，越是平坦（導數小）的函數，須要的分割越少。詳細            的，在進行運算的時候，先限定一個偏差，而後將函數分割爲兩半，每邊的偏差均是偏差的一半。這種方法的程序我再思考一下，還沒想到怎麼實現較好。