【BZOJ2154】Crash的數字表格

算是學會反演了……（其實挺好學的一天就能學會……

原題：

今天的數學課上，Crash小朋友學習了最小公倍數(Least Common Multiple)。對於兩個正整數a和b，LCM(a, b)表示能同時被a和b整除的最小正整數。例如，LCM(6, 8) = 24。回到家後，Crash還在想着課上學的東西，爲了研究最小公倍數，他畫了一張N*M的表格。每一個格子裏寫了一個數字，其中第i行第j列的那個格子裏寫着數爲LCM(i, j)。一個4*5的表格以下： 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4 12 4 20 看着這個表格，Crash想到了不少能夠思考的問題。不過他最想解決的問題倒是一個十分簡單的問題：這個表格中全部數的和是多少。當N和M很大時，Crash就一籌莫展了，所以他找到了聰明的你用程序幫他解決這個問題。因爲最終結果可能會很大，Crash只想知道表格裏全部數的和mod 20101009的值。

 

反演嘛，直接推公式

（Atom和即時預覽的latex插件真好用

（治好了我多年的公式恐懼症~~（模仿po姐

而後按照莫比烏斯反演經典的計算方法for(int i=1,j;i<=n;i=j+1)  j=min(n/(n/i),m/(m/i));O(√n*√n)=O(n)計算就能夠了

須要注意的是由於計算過程當中是在模意義下計算的，因此會出現負數（可是由於計算是在模意義下進行的因此答案確實是對的），最後須要加模數再取模

（反演其實挺好學的一天就能學會（就學個反演都拖了一年我之前真是釷氧釷砷釙熵鈦鎿銥鎢

代碼：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstring>
 5 #include<cmath>
 6 using namespace std;
 7 #define ll long long
 8 const int mo=20101009;
 9 int rd(){int z=0,mk=1;  char ch=getchar();
10     while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')mk=-1;  ch=getchar();}
11     while(ch>='0'&&ch<='9'){z=(z<<3)+(z<<1)+ch-'0';  ch=getchar();}
12     return z*mk;
13 }
14 void wt(int x){if(x<0)  putchar('-'),x=-x;
15     int wtp=0;  char wtc[22];
16     while(x)  wtc[++wtp]=(x%10)+'0',x/=10;
17     while(wtp)  putchar(wtc[wtp--]);
18 }
19 int n,m;
20 int prm[11000000],prp=0,miu[11000000];  bool prg[11000000];
21 int s[11000000];
22 void gtmiu(){
23     fill(prg+1,prg+n+1,0);
24     miu[1]=1;
25     for(int i=2;i<=n;++i){
26     if(!prg[i])  prm[++prp]=i,miu[i]=-1;
27     for(int j=1;j<=prp && i*prm[j]<=n;++j){
28         prg[i*prm[j]]=true;
29         if(!(i%prm[j])){  miu[i*prm[j]]=0;  break;}
30         miu[i*prm[j]]=-miu[i];
31     }
32     }
33     for(ll i=1;i<=n;++i)
34     s[i]=(s[i-1]+(i*i*miu[i])%mo)%mo;
35 }
36 ll sm(ll x,ll y){  return (((x*(x+1)/2)%mo)*((y*(y+1)/2)%mo))%mo;}
37 ll cclt(int x,int y){
38     if(x>y)  swap(x,y);
39     ll bwl=0;
40     for(ll i=1,j;i<=x;i=j+1){
41     j=min(x/(x/i),y/(y/i));
42     bwl=(bwl+((s[j]-s[i-1])*sm(x/i,y/i))%mo)%mo;
43     }
44     return bwl;
45 }
46 int main(){//freopen("ddd.in","r",stdin);
47     cin>>n>>m;
48     if(n>m)  swap(n,m);
49     gtmiu();
50     ll ans=0;
51     for(ll i=1,j;i<=n;i=j+1){
52     j=min(n/(n/i),m/(m/i));
53     ans=(ans+(((i+j)*(j-i+1)/2)%mo*cclt(n/i,m/i))%mo)%mo;
54     }
55     cout<<(ans+mo)%mo<<endl;
56     return 0;
57 }

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