DFS和BFS遍歷的問題

來自https://github.com/soulmachine/leetcode

廣度優先搜索

輸入數據：沒有什麼特徵，不像dfs須要有遞歸的性質。若是是樹/圖，機率更大。

狀態轉換圖：數或者DAG圖（有向無環圖）

求解目標：求最短

思考的步驟：

1，是求路徑長度，仍是路徑自己（動做序列）

　　a，若是是求路徑長度，則狀態裏面要存路徑長度（或雙端隊列+一個全局變量）

　　b，若是是求路徑自己或動做序列

　　　　i，要用一顆樹存儲寬搜過程的路徑

　　　　ii，是否可以預算狀態個數的上限？

　　　　　　可以預估狀態總數，則開闢一個大數組，用樹的雙親表示法;

　　　　　　若是不能預估狀態總數，則要使用一顆通用的樹，這也是第4步的須要不充分條件。

2，如何表示狀態？即一個狀態須要存儲哪些必要的數據，纔可以完整提供如何擴展到下一步狀態的全部信息。通常記錄當前位置或總體局面。

3，如何擴展狀態？這一步和第2步有關，狀態裏記錄的數據不一樣，擴展方法就不一樣。

　　對於固定不變的數據結構（通常題目直接將給出，做爲輸入數據），如二叉樹、圖。擴展方法簡單，直接往下一層走。

　　對於隱式圖，要先在第一步裏想清楚狀態所帶的數據，想清楚了這一點，就能夠直到如何擴展了。

4，如何判斷重複？

　　若是狀態轉換圖是一棵樹，則永遠不會出現迴路，不須要判重。

　　若是狀態轉換圖是一個圖（這時候是一個圖上的BFS），則須要判斷重複。

　　　　a，若是是求最短路徑長度或一條路徑，則只須要讓「點」（就是狀態）不重複出現，便可保證不出現迴路

　　　　b，若是是求全部路徑，注意此刻，狀態轉換圖是DAG，即容許兩個父節點指向同一個字節點。具體實現時，每一個節點要「延遲」加入到已訪問集合visited，

　　　　　要等一層所有訪問完後，再加入到visited集合。

　　　　c，具體實現？

　　　　　　i，狀態是否存在完美哈希方案？即將狀態一一映射到整數，互相之間不會衝突。

　　　　　　ii，若是不存在，則須要使用通用的哈希表（本身實現，或使用STL，例如unordered_set)來判重;

　　　　　　　　本身實現的哈希表，若是可以預估狀態個數的上限，則能夠開兩個數組，head和next表示哈希表（下面有例子）。

　　　　　　iii，若是存在，則能夠開一個大布爾數組，來判重，且此刻能夠精確計算出狀態總數，而不只僅是預估上限。

5，目標狀態是否已知？

　　若是題目已經給出了目標狀態，能夠帶來很大便利，這時候能夠從起始狀態出發，正向廣搜，

　　也能夠從目標狀態出發，逆向廣搜，

　　也能夠同時出發，雙向廣搜。

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代碼模板？

廣搜須要一個隊列，用於一層一層擴展，一個hashset，用於判重，一棵樹（只求長度時不須要）用於存儲整棵樹。

　　對於隊列，能夠用queue，也能夠把vector看成隊列使用。當求長度時，有兩種作法：

　　　　1，只用一個隊列，但在狀態結構體state_t裏面增長一個整數字段level，表示當前所在的層次，當碰到目標狀態時，直接輸出level便可。

　　　　這個方案能夠很容易編程A*搜索，把queue替換爲priority_queue便可。

　　　　2，用兩個隊列，current，next，分別表示當前層次和下一層，另設一個全局整數level，表示層數（即路徑長度），當碰到目標狀態，輸出level便可。

　　　　這個方案，狀態裏能夠村路徑長度，只需全局設置一個整數level，比較節省內存;

　　對於hashset，

　　　　若是有完美哈希方案，用布爾數組（bool visited[STATE_MAX]或vector<bool> visited(STATE_MAX,false)來表示;

　　　　若是沒有完美哈希方案，須要用STL裏的set或unordered_set。

　　對於樹，

　　　　若是用STL，能夠用unordered_map<state_t,state_t> father表示一棵樹，代碼很簡潔。

　　　　若是可以預估狀態總數的上限（設爲STATE_MAX)，可使用數組state_t nodes[STATE_MAX]，即樹的雙親表示法來表示樹，效率更高，可是代碼更高。

代碼在這裏

 

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深度優先搜索

適用場景：

輸入數據，若是是遞歸數據結構，如單鏈表，二叉樹，集合，則百分百能夠用深搜;若是是非遞歸數據結構，如一維數組，二維數組，字符串，圖則機率小一些。可是也有的。

狀態轉換圖，樹或者圖

求解目標：必須走到最深處（例如對於樹，必需要走到葉子節點）才能獲得一個解，適合是恩搜。

 

思考步驟：

1，深搜常見的三個問題，求可行解的總數，求一個可行解，求全部可行解。

　　a，若是是路徑條數，則不須要存儲路徑

　　b，若是哦是路徑自己，則要用一個數組path存儲路徑。

　　　　跟寬搜不一樣，寬搜雖然也是一條路徑，可是須要存儲擴展過程當中的全部路徑，在沒找到答案以前全部路徑都不能放棄。

　　　　而深搜，在搜索過程當中始終只有一條路徑，所以用一個數組就能夠了。

2，只要求一個解，仍是求全部解。

　　只求一個解，找到一個解就返回。

　　求全部解，找到一個後，還要繼續遍歷。

　　廣搜通常只要求一個解，（廣搜也會求全部解，這時須要擴展到全部葉子節點，至關於在內存中存儲整個狀態轉換圖，很是佔內存，所以廣搜不適合求這類問題）。

3，若是表示狀態？

　　即一個狀態須要存儲哪些必要的數據，纔可以完整提供如何擴展到下一步狀態的全部信息。跟廣搜不一樣，深搜的慣用寫法，不是把數據記錄在狀態struct裏，而是

　　添加函數參數（有時爲了節省遞歸堆棧，用全局變量），struct裏的字段與函數參數一一對應。

4，如何擴展狀態？

　　這一步跟上一步相關。狀態裏記錄的數據不一樣，擴展方法就不一樣，對於固定不變的數據結構（通常題目直接給出，做爲輸入數據），二叉樹、圖，擴展方法很簡單，直接往下一步走就好了。對於隱式圖，要先在第1步中想清楚狀態所帶的數據，才能直到擴展。

5，終止條件？

　　是指到了不能擴展的末端節點。對於樹，是葉子節點。對於圖或隱式圖，是出度爲0的節點。

6，收斂條件？

　　是指找到一個合法解的時刻。

　　若是正向深搜（父節點處理完了，才進行遞歸，即父狀態不依賴子狀態，遞歸語句在最後，尾遞歸），則是指是否達到目標狀態;

　　若是是逆向搜索，（處理父狀態時須要先知道子狀態的結果，此時遞歸語句不在最後），則是指是否到達初始狀態。

 

　　不少時候，終止狀態和收斂條件是合二爲一的，不少人不會區分這兩種條件。仔細區分這兩種條件，是有必要的。

 

　　爲了判斷是否到了收斂條件，要在函數接口裏用一個參數記錄當前的位置（或距離目標還有多遠）。

　　若是是求一個解，直接返回這個解;若是是求全部解，要在這裏蒐集，即把第一步中表示路徑的數組path[]複製到解集合裏。

7，關於判重

　　a，是否須要判重？

　　　　若是狀態轉換圖是一顆樹，則不須要判重，由於在遍歷的過程當中不會出現重複;

　　　　若是狀態狀態圖是一個DAG，則須要判重。這一點和BFS不同，BFS的狀態轉換圖老是DAG，必須判重。

　　b，怎麼判重，跟廣搜同樣。同時，DAG說明存在重疊子問題，此時能夠用緩存加速。見第8步（下一步）。

8，如何加速？

　　a，剪枝。深搜必定要好好考慮怎麼剪枝，成本小收益大，加幾行代碼，就能大大加速。

　　　　　　這裏沒有通用的方法，只能具體問題，具體分析，要充分觀察，充分利用各類信息來剪枝，在中間節點提早返回。

　　b，緩存。

　　　　i，前提條件：狀態轉換圖是一個DAG。DAG=>存在重疊子問題=>子問題的解會被重複利用，用緩存天然會由加速效果。

　　　　　若是依賴關係是樹狀的（例如樹，單鏈表等），不必加緩存，由於子問題只會一層層往下，用一次就不再會用到，加了緩存也沒什麼效果。

　　　　ii，具體實現：可使用數組或hashmap。

　　　　　　維度簡單的，用數組;

　　　　　　維度複雜的，用hashmap，c++有map，c++11之後有unordered_map，比map快。

代碼模板

/**
*@brief dfs模板
*@param[in] input 輸入數據指針
*@param[out] path 當前路徑，也是中間結果
*@param[out] result 存放最終結果
*@param[inout] cur or gap 標記當前位置或距離目標的距離
*@return  1，路徑長度，2路徑自己
*/
void dfs(type &input,type &path,type &result,int cur or gap){
    if(data is valid) return;//終止條件
    if(curr==input.size()){// 收斂條件，正向
        ///if(gap==0){}///逆向
        result.push_back(path);
    }
    
    if(能夠剪枝) return;
    
    for(...){///執行全部的可能的擴展
        執行動做，修改path
        dfs(input,step+1,or gap--,result);
        恢復path
    }
}        

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深搜和回溯法？

深搜：維基百科

回溯法：維基百科

回溯法=深搜+剪枝，通常在用深搜時，或多或少會用到剪枝，所以深搜和回溯法沒有什麼不同的。

 

深搜與遞歸recursion？

深搜，是邏輯意義上的算法;遞歸是物理意義上的實現，遞歸和迭代iteration相對應。

深搜，能夠用遞歸實現，也能夠用棧實現。而遞歸，通常老是用來實現深搜，能夠說，遞歸必定是深搜，可是深搜不必定遞歸。

遞歸由兩種加速策略，1剪枝，對中間結果判斷，提早返回。2緩存，緩存中間結果，防止重複計算，用空間換時間。

其實，遞歸+緩存，就是memorization（翻譯爲備忘錄法），就是top-down with cache（自頂向下+緩存），它是Donald Michie在1968年創造的術語，表示

　　一種優化技術，在top-down形式的程序中，使用來避免重複計算，能夠加速。

memorization不必定用遞歸，就像深搜不必定用遞歸同樣，能夠在迭代iterative中使用memorization。遞歸也不必定用memorization，可使用它來加速，但也不是必須的。

　　只有在使用了緩存時，它纔是memorizaiton。