【BZOJ4833】最小公倍佩爾數（min-max容斥）

【BZOJ4833】最小公倍佩爾數（min-max容斥）

題面

BZOJ

題解

首先考慮怎麼求\(f(n)\)，考慮遞推這個東西
\((1+\sqrt 2)(e(n-1)+f(n-1)\sqrt 2)=e(n)+f(n)\sqrt 2\)
拆開以後能夠獲得：\(e(n)=e(n-1)+2f(n-1),f(n)=f(n-1)+e(n-1)\)。
把每一層的\(e\)都給展開，獲得：\(\displaystyle f(n)=1+f(n-1)+2\sum_{i=1}^{n-2}f(i)\)
而後差分搞搞，\(\displaystyle f(n)-f(n-1)=f(n-1)-f(n-2)+2*f(n-2)\)。
獲得\(f(n)=2f(n-1)+f(n-2)\)，特殊的\(f(0)=0,f(1)=1\)。
而後咱們發現要求\(lcm\)，那麼就先考慮\(f(a)\)和\(f(b)\)的\(gcd\)是什麼。
這個東西顯然能夠相似斐波那契數列那樣子利用展轉相減獲得\(gcd(f(a),f(b))=f(gcd(a,b))\)。
接下來就能夠考慮怎麼求答案了。
而後\(lcm\)的式子是對於每一個質因子，考慮其\(max\)。
考慮\(min-max\)容斥，把\(max\)變成\(min\)，那麼就能夠從\(lcm\)變成\(gcd\)。
而後把\(min-max\)容斥的式子給寫出來：
\[max(S)=\sum_{T\subset S}(-1)^{|T|+1}min(T)\]
套到\(lcm\)上就是：
\[lcm(S)=\prod_{T\subset S}gcd(T)^{(-1)^{|T|+1}}\]
那麼就有
\[g(n)=\prod_{T\subset S}f_{gcd(T)}^{(-1)^{|T|+1}}=\prod_{i=1}^n f_i^{\sum_{T\subset S}[gcd(T)=i](-1)^{|T|+1}}\]
上面那個指數看着就能夠莫比烏斯反演一下之類的，而後令上面那一堆東西是\(a[i]\)，而後令\(b[i]=\sum_{i|d}a[d]\)這個係數稍微推一下，獲得：
\[b[i]=\sum_{i|d}a[d]=\sum_{T\subset S}[i|gcd(T)](-1)^{|T|+1}\]
這個值顯然之和是否存在\(i\)倍數的數相關，存在就是\(1\)，沒有就是\(0\)。
而莫比烏斯反演能夠獲得
\[a[i]=\sum_{i|d}\mu(\frac{d}{i})b[d]\]
再把這個東西帶回去
\[\begin{aligned} g[n]&=\prod_{i=1}^n f_i^{a[i]}\\ &=\prod_{i=1}^n f_i^{\sum_{i|d}\mu(\frac{d}{i})b[d]}\\ &=\prod_{i=1}^n\prod_{i|d}f_i^{\mu(\frac{d}{i})b[d]} \end{aligned}\]
由於\(d\)的範圍在\(n\)之內，因此一定存在\(d\)的倍數，因此\(b[d]=1\)，那麼只須要提早一個\(log\)預處理後面一半就好了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define MAX 1000100
inline int read()
{
    int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return t?-x:x;
}
int n,MOD;
bool zs[MAX];
int pri[MAX],mu[MAX],tot;
int f[MAX],g[MAX],s[MAX],inv[MAX];
int fpow(int a,int b){int s=1;while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}return s;}
void Sieve(int n)
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        if(!zs[i])pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=n;++j)
        {
            zs[i*pri[j]]=true;
            if(i%pri[j])mu[i*pri[j]]=-mu[i];
            else{mu[i*pri[j]]=0;break;}
        }
    }
}
int main()
{
    Sieve(MAX-1);
    int T=read();
    while(T--)
    {
        n=read();MOD=read();
        f[1]=1;for(int i=2;i<=n;++i)f[i]=(2ll*f[i-1]+f[i-2])%MOD;
        for(int i=1;i<=n;++i)s[i]=1,inv[i]=fpow(f[i],MOD-2);
        for(int i=1;i<=n;++i)
            for(int j=i;j<=n;j+=i)
                if(mu[j/i]==1)s[j]=1ll*s[j]*f[i]%MOD;
                else if(mu[j/i]==-1)s[j]=1ll*s[j]*inv[i]%MOD;
        g[0]=1;for(int i=1;i<=n;++i)g[i]=1ll*g[i-1]*s[i]%MOD;
        int ans=0;for(int i=1;i<=n;++i)ans=(ans+1ll*g[i]*i)%MOD;
        printf("%d\n",ans);
    }
}