卷積的本質及物理意義

提示：對卷積的理解分爲三部分講解1）信號的角度2）數學家的理解（外行）3）與多項式的關係

1 來源

卷積其實就是爲衝擊函數誕生的。「衝擊函數」是狄拉克爲了解決一些瞬間做用的物理現象而提出的符號。古人曰：「說一堆大道理不如舉一個好例子」，衝量這一物理現象很能說明「衝擊函數」。在t時間內對一物體做用F的力，假若做用時間t很小，做用力F很大，但讓Ft的乘積不變，即衝量不變。因而在用t作橫座標、F作縱座標的座標系中，就如同一個面積不變的長方形，底邊被擠的窄窄的，高度被擠的高高的，在數學中它能夠被擠到無限高，但即便它無限瘦、無限高、但它仍然保持面積不變（它沒有被擠沒！），爲了證明它的存在，能夠對它進行積分，積分就是求面積嘛！因而「卷積」這個數學怪物就這樣誕生了。

卷積是「信號與系統」中論述系統對輸入信號的響應而提出的。

2 意義

信號處理是將一個信號空間映射到另一個信號空間，一般就是時域到頻域，（還有z域，s域），信號的能量就是函數的範數（信號與函數等同的概念），你們都知道有個Paserval定理就是說映射先後範數不變，在數學中就叫保範映射，實際上信號處理中的變換基本都是保範映射，只要Paserval定理成立就是保範映射（就是能量不變的映射）。

信號處理中如何出現卷積的。假設B是一個系統（線性時不變系統），其t時刻的輸入爲x(t)，輸出爲y(t)，系統的響應函數爲h(t)，按理說，輸出與輸入的關係應該爲

Y(t)=h(t)x(t)，

然而，實際的狀況是，系統的輸出不只與系統在t時刻的響應有關，還與它在t時刻以前的響應有關，不過系統有個衰減過程，因此t1（<t）時刻的輸入對輸出的影響一般能夠表示爲x(t)h(t-t1)，這個過程多是離散的，也多是連續的，因此t時刻的輸出應該爲t時刻以前系統響應函數在各個時刻響應的疊加，這就是卷積，用數學公式表示就是

y(s)=∫x(t)h(s-t)dt，

離散狀況下就是級數了。

3 計算

卷積是一種積分運算，它能夠用來描述線性時不變系統的輸入和輸出的關係：即輸出能夠經過輸入和一個表徵系統特性的函數（衝激響應函數）進行卷積運算獲得。（如下用$符號表示從負無窮大到正無窮大的積分）

1）一維卷積：

y(t)=g(k)*x(k)=$g(k)x(t-k)

先把函數x(k)相對於原點反折，而後向右移動距離t，而後兩個函數相乘再積分，就獲得了在t處的輸出。對每一個t值重複上述過程，就獲得了輸出曲線。   

2）二維卷積：

h(x,y)=f(u,v)*g(u,v)=$$f(u,v)g(x-u,y-v)

先將g(u,v)繞其原點旋轉180度，而後平移其原點，u軸上像上平移x，   v軸上像上平移y。而後兩個函數相乘積分，獲得一個點處的輸出。

4 幽默笑話——談卷積的物理意義

有一個七品縣令，喜歡用打板子來懲戒那些市井無賴，並且有個慣例：若是沒犯大罪，只打一板，釋放回家，以示愛民如子。

有一個無賴，想出人頭地卻沒啥期望，心想：既然揚不了善名，出惡名也成啊。怎麼出惡名？炒做唄！怎麼炒做？找名人呀！他天然想到了他的行政長官——縣令。

無賴因而光天化日之下，站在縣衙門前撒了一泡尿，後果是可想而知地，天然被請進大堂捱了一板子，而後昂首挺胸回家，躺了一天，嘿！身上啥事也沒有！次日如法炮製，全然不顧行政長管的仁慈和衙門的體面，第三天、第四天......天天去縣衙門領一個板子回來，還喜氣洋洋地，堅持一個月之久！這無賴的名氣已經和衙門口的臭氣同樣，傳遍八方了！

縣令大人噤着鼻子，呆呆地盯着案子上的驚堂木，擰着眉頭思考一個問題：這三十個大板子怎麼很差使捏？......想當初，本老爺金榜題名時，數學但是得了滿分，今天好歹要解決這個問題：

 ——人（系統！）挨板子（脈衝！）之後，會有什麼表現（輸出！）？

 ——費話，疼唄！

——我問的是：會有什麼表現？

 ——看疼到啥程度。像這無賴的體格，天天挨一個板子啥事都不會有，連哼一下都不可能，你也看到他那得意洋洋的嘴臉了（輸出0）；若是一次連揍他十個板子，他可能會皺皺眉頭，咬咬牙，硬挺着不哼（輸出1）；揍到二十個板子，他會疼得臉部扭曲，象豬似地哼哼（輸出3）；揍到三十個板子，他可能會象驢似地嚎叫，一把鼻涕一把淚地求你饒他一命（輸出5）；揍到四十個板子，他會大小便失禁，勉強哼出聲來（輸出1）；揍到五十個板子，他連哼一下都不可能（輸出0）——死啦！

縣令鋪開座標紙，以打板子的個數做爲X軸，以哼哼的程度（輸出）爲Y軸，繪製了一條曲線：

 ——嗚呼呀！這曲線像一座高山，弄不懂。爲啥那個無賴連捱了三十天大板卻不喊繞命呀？

 —— 呵呵，你打一次的時間間隔（Δτ=24小時）太長了，因此那個無賴承受的痛苦程度一天一利索，沒有疊加，始終是一個常數；若是縮短打板子的時間間隔（建議Δτ=0.5秒），那他的痛苦程度可就迅速疊加了；等到這無賴挨三十個大板（t=30）時，痛苦程度達到了他能喊叫的極限，會收到最好的懲戒效果，再多打就顯示不出您的仁慈了。

——仍是不太明白，時間間隔小，爲何痛苦程度會疊加呢？

——這與人（線性時不變系統）對板子（脈衝、輸入、激勵）的響應有關。什麼是響應？人挨一個板子後，疼痛的感受會在一天（假設的，因人而異）內慢慢消失（衰減），而不可能忽然消失。這樣一來，只要打板子的時間間隔很小，每個板子引發的疼痛都來不及徹底衰減，都會對最終的痛苦程度有不一樣的貢獻：

t個大板子形成的痛苦程度=Σ(第τ個大板子引發的痛苦*衰減係數)

[衰減係數是（t-τ）的函數，仔細品味]

 數學表達爲：y(t)=∫T(τ)H(t-τ)dτ

——拿人的痛苦來講卷積的事，太殘忍了。除了人之外，其餘事物也符合這條規律嗎？

 ——呵呵，縣令大人畢竟仁慈。其實除人以外，不少事情也遵循此道。好好想想，鐵絲爲何彎曲一次不折，快速彎曲屢次卻會輕易折掉呢？

 ——恩，一時還弄不清，容本官慢慢想來——但有一點是明確地——來人啊，將撒尿的那個無賴抓來，狠打40大板！

也能夠這樣理解：T(τ)即第τ個板子，H(t-τ)就是第τ個板子引發的痛苦到t時刻的痛苦程度，全部板子加起來就是∫T(τ)H(t-τ)dτ

4 卷積在具體學科中的應用

圖像處理：用一個模板和一幅圖像進行卷積，對於圖像上的一個點，讓模板的原點和該點重合，而後模板上的點和圖像上對應的點相乘，而後各點的積相加，就獲得了該點的卷積值。對圖像上的每一個點都這樣處理。因爲大多數模板都是對稱的，因此模板不旋轉。卷積是一種積分運算，用來求兩個曲線重疊區域面積。能夠看做加權求和，能夠用來消除噪聲、特徵加強。

把一個點的像素值用它周圍的點的像素值的加權平均代替。

卷積是一種線性運算,圖像處理中常見的mask運算都是卷積，普遍應用於圖像濾波。

卷積在數據處理中用來平滑，卷積有平滑效應和展寬效應.

電路學：卷積法的原理是根據線性定常電路的性質(齊次性、疊加性、時不變性、積分性等),藉助電路的單位衝激響應h(t),求解系統響應的工具，系統的激勵通常均可以表示爲衝擊函數和激勵的函數的卷積，而卷積爲高等數學中的積分概念。概念中衝擊函數的幅度是由每一個矩形微元的面積決定的。

卷積關係最重要的一種狀況，就是在信號與線性系統或數字信號處理中的卷積定理。利用該定理，能夠將時間域或空間域中的卷積運算等價爲頻率域的相乘運算，從而利用FFT等快速算法，實現有效的計算，節省運算代價。

信號處理：

1）卷積實質上是對信號進行濾波；

2）卷積就是用衝擊函數表示激勵函數，而後根據衝擊響應求解系統的零狀態響應。

卷積是求和（積分）。對於線性時不變的系統，輸入能夠分解成不少強度不一樣的衝激的和的形式（對於時域就是積分），那麼輸出也就是這些衝激分別做用到系統產生的響應的和（或者積分）。因此卷積的物理意義就是表達了時域中輸入，系統衝激響應，以及輸出之間的關係。

信號角度：卷積表明了線性系統對輸入信號的響應方式,其輸出就等於系統衝擊函數和信號輸入的卷積,只有符合疊加原理的系統,纔有系統衝擊函數的概念,從而卷積成爲系統對輸入在數學上運算的必然形式,衝擊函數其實是該問題的格林函數解。點激勵源做爲強加激勵,求解某個線性問題的解,獲得的格林函數便是系統衝擊響應.因此在線性系統中,系統衝擊響應與卷積存在着必然的聯繫。

數學：來講卷積就是定義兩個函數的一種乘法，或者是一種反映兩個序列或函數之間的運算方法。對離散序列來講就是兩個多項式的乘法。物理意義就是衝激響應的線性疊加，所謂衝激響應能夠看做是一個函數，另外一個函數按衝激信號正交展開。

在現實中：卷積表明的是將一種信號搬移到另外一頻率中，好比調製，這是頻率卷。

物理：卷積可表明某種系統對某個物理量或輸入的調製或污染。

在現實中：卷積表明的是將一種信號搬移到另外一頻率中，好比調製，這是頻率卷。

形象比喻：卷積我以爲就象一把銼刀，它主要是把一些非光滑的函數或算子光滑化。

信號處理的任務就是尋找和信號集合對應的一個集合，而後在另一個集合中分析信號，Fourier變換就是一種，它創建了時域中每一個信號函數與頻域中的每一個頻譜函數的一一對應關係，這是元素之間的對應。那麼運算之間的對應呢，在時域的加法對應頻域中的加法，這就是FT線性性的體現；那麼時域的乘法對應什麼呢，最後獲得的那個表達式咱們就把它叫卷積，就是對應的頻域的卷積。

簡單來講，卷積是一種重疊關係，也就是說，所獲得的結果反映了兩個卷積函數的重疊部分。因此，用一個已知頻段的函數卷積另外一個頻段很寬的函數，也就是對後者進行了濾波，後者跟前者重疊的頻段才能很好地經過這個filter.

5 卷積與多項式

信號處理中的一個重要運算是卷積.初學卷積的時候,每每是在連續的情形,兩個函數f(x),g(x)的卷積,是∫f(u)g(x-u)du。固然，證實卷積的一些性質並不困難，好比交換，結合等等，可是對於卷積運算的來處，初學者就不甚了了。

其實，從離散的情形看卷積，或許更加清楚，對於兩個序列f[n],g[n],通常能夠將其卷積定義爲s[x]= ∑f[k]g[x-k]。

卷積的一個典型例子,其實就是初中就學過的多項式相乘的運算。

好比(x*x+3*x+2)(2*x+5)通常計算順序以下：

(x*x+3*x+2)(2*x+5)

= (x*x+3*x+2)*2*x+(x*x+3*x+2)*5
= 2*x*x*x+3*2*x*x+2*2*x+ 5*x*x+3*5*x+10
而後合併同類項的係數,

2x*x*x

3*2+1*5x*x

2*2+3*5x

2*5
2*x*x*x+11*x*x+19*x+10

實際上,從線性代數能夠知道,多項式構成一個向量空間,其基底可選爲{1,x,x*x,x*x*x,...}如此,則任何多項式都可與無窮維空間中的一個座標向量相對應,如,(x*x+3*x+2)對應於(1 3 2),(2*x+5)對應於(2,5)。線性空間中沒有定義兩個向量間的卷積運算,而只有加法、數乘兩種運算,而實際上,多項式的乘法,就沒法在線性空間中說明，可見線性空間的理論多麼侷限了。但若是按照咱們上面對向量卷積的定義來處理座標向量,(1 3 2)*(2 5)則有(1 3 2)*(2 5)=(2 11 19 10)。

回到多項式的表示上來,(x*x+3*x+2)(2*x+5)=2*x*x*x+11*x*x+19*x+10，結果跟咱們用傳統辦法獲得的是徹底同樣的.換句話,多項式相乘,至關於係數向量的卷積.其實道理也很簡單,卷積運算其實是分別求 x*x*x ,x*x,x,1的係數，也就是說，他把加法和求和雜合在一塊兒作了。(傳統的辦法是先作乘法，而後在合併同類項的時候才做加法)以x*x的係數爲例，獲得x*x，或者是用x*x乘5，或者是用3x乘2x,也就是

2 3 1
_ 2 5
6+5=11

其實,這正是向量的內積.如此則,卷積運算,能夠看做是一串內積運算.既然是一串內積運算，則咱們能夠試圖用矩陣表示上述過程。
[ 2 3 1 0 0 0]
[ 0 2 3 1 0 0]==A
[ 0 0 2 3 1 0]
[ 0 0 0 2 3 1]
[0 0 2 5 0 0]' == x
b= Ax=[ 2 11 19 10]'

採用行的觀點看Ax,則b的每行都是一個內積。A的每一行都是序列[23 1]的一個移動位置。顯然,在這個特定的背景下,咱們知道,卷積知足交換,結合等定律,由於,衆所周知的,多項式的乘法知足交換律,結合律.在通常情形下,其實也成立.

在這裏,咱們發現多項式,除了構成特定的線性空間外,基與基之間還存在某種特殊的聯繫,正是這種聯繫,給予多項式空間以特殊的性質.

在學向量的時候，通常都會舉這個例子，甲有三個蘋果，5個橘子，乙有5個蘋果，三個橘子，則共有幾個蘋果，橘子。老師反覆告誡，橘子就是橘子，蘋果就是蘋果，可不能混在一塊兒。因此有(3,5)+(5,3)=(8,8).是的，橘子和蘋果不管怎麼加，都不會出什麼問題的，可是，若是考慮橘子乘橘子，或者橘子乘蘋果，這問題就不大容易說清了。

又如複數,若是僅僅定義複數爲數對（a,b),僅僅在線性空間的層面看待C2,那就未免太簡單了。實際上，只要加上一條(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)。則狀況立刻改觀，複變函數的內容多麼豐富多彩，是衆所周知的。另外，回想信號處理裏面的一條基本定理,頻率域的乘積,至關於時域或空域信號的卷積.剛好和這裏的情形徹底對等.這後面存在什麼樣的隱態聯繫,須要繼續參詳.

從這裏看,高等的卷積運算其實不過是一種初等的運算的抽象而已.中學學過的數學裏面，其實還蘊涵着許多高深的內容（好比交換代數）。溫故而知新,斯言不謬.其實這道理一點也不復雜，人類繁衍了多少萬年了，但過去n多年，人們只知道男女媾精，乃能繁衍後代。精子，卵子的發現，生殖機制的研究，也就是最近多少年的事情。

孔子說，道在人倫日用中，看來咱們應該多用審視的眼光看待周圍，乃至自身，才能知其然，而知其因此然。

 

 

 

 

數據挖掘中有時須要卷積這一數學工具(例如計算個體適應度、對象間距離,以及干預效果等等），昨天又有同窗問到相關問題，借用最近在網上的滾燙的詞聚集 { 輻射，服碘，補鹽，空襲 }，對卷積作了一個直觀的解釋。反饋還算滿意，又在過去講課的PPT中取些素材，改寫成了這篇博文。
　　
　　 幼童背古詩文的感受，來自數學系的同窗以爲卷積是小菜一碟，隨手就寫出卷積定義
       F(t)= ∫ f(τ)g(t-τ)dτ  (積分限從-∞ 到+∞)
　　並指出這是含參積分，t是參數，以爲淺而又顯，無須解釋。而部分（例如來自工科和醫學專業的）選修數據挖掘的學生，仍是以爲稍有點難，說：相關公式能默寫、能推導、能經過考試，本身仍是以爲不踏實，以爲沒有真正理解；發明者是怎樣想出來的？有何直觀背景？用在哪些場合？
　　一言以蔽之，在邏輯上承認，而直觀上迷茫。好像很小的時候背誦古詩文那種感受。
　　鑑於數學老師已經講解過理論推導，做爲一種補充，這裏用生活實例作一些直觀解釋，給出一個大框架和物理直觀，爲敘述簡單，忽略一些細節。須要說明，直觀的解釋僅用於輔助理解，不能取代嚴格的描述和證實。

 

　　 幾個時髦（但可能不很貼切）的例子.
　　輻射：設某核電站事故中，某工做人員天天到搶險現場工做T分鐘，接受必定劑量的輻射，輻射會天然地衰減，如此工做N天，總的輻射量用什麼計算工具來（粗略地）估計？回答：能夠用卷積。
　　服碘：某人爲了防輻射，本身找來碘片，天天口服若干，體內碘殘量會隨人體代謝衰減，N天后體內積累的碘殘量如何（粗略地）估計？仍是卷積；（後面科普部分將給出簡單的推導過程）；
　　補鹽：某人爲了反輻射，搶購來碘鹽，每餐口服若干，體內鹽殘量會隨人體代謝衰減。N天后體內積累的鹽量和碘殘量如何（粗略地）估計？能夠用卷積；
　　空襲：某多國部隊每隔N小時對桀驁不馴的某地區或國家實行間歇性空中打擊，每次打擊後，其物理破壞和心理震懾做用會隨時間衰減（例如，被打方會組織搶修，內心承受度增長等等），如此進行M天后，累積的打擊總效果如何（粗略地）估計？仍是能夠用卷積。
　　還有其餘例子，如長期服藥的血藥濃度，長期吸入污染物在人體內的積累，吸菸或喝咖啡的積累效應，屢次噴灑農藥的殘留量，等等，也能夠用卷積來估計。
　　上面的有些例子可能不很貼切，有幾個緣由：，
　　(a)卷積是積分運算，處理對象要求是能夠積分的函數，在工程中，通常對應於連續現象而不是離散對象；把離散對象當作連續的現象處理，只能粗略估計。
　　(b)社會問題，政治問題比較複雜，即便加上不少假定，也只是框架性的估算。
　　可是，有計算、有依據的估計總比算命先生的神仙數字可信。
　　
　　 難懂之因：爲了數學美，拆卸了腳手架。 教科書書經常使用「定義—定理」的體系，先給出數學定義，而後給出若干性質， 從公式 到 公式，逐步推導。有的教科書採用用信號「反褶、平移、相乘、積分」給出幾何解釋，屬於用數學解釋數學，提問者不知足這種解釋。
　　這不是當年發明卷積的大師們的「需求–猜測—發現—證實—應用」的路徑，大師們建設好「卷積」大廈後，爲了數學美，拆卸了腳手架，如今人們看到的是煉成的鋼鐵，看不出鋼鐵是怎樣煉成的。形成了部分非數學專業學生的一個難點。

 

　　 一次輸液引出的班門弄斧 一次偶感風寒，服藥未愈，轉做靜脈滴注，無聊地望着那藥液慢騰騰地滴，突然靈感一閃：
　　（1）這是一個可離散觀察的連續過程。透明玻璃管構成了可視化的界面，能離散地對藥滴計數，而下面是相對穩定的液柱高度，保證了藥液連續（有點脈動）地注入靜脈，比較適合積分處理；（口服和注射，就相對離散，結果就更粗略一些）。
　　（2）藥動學有個術語血藥濃度，怎樣來保證血藥濃度在安全閾值之下，又在有效閾值之上呢？
　　馬上在草稿本上寫劃，哇噻，原來能夠用卷積！並且只須要簡單的積分知識。因而，對此常問難點，有了一個易懂的直觀解釋。正是：小恙滴注，焉知非福？
　　下面將敘述此次雙重的（數學與醫學）的班門弄斧，疏漏之處，請專家指正。
　　
　　 靜脈滴注與體內藥物濃度 爲簡單又不失通常性，給出下列符號和假定:
　　從t=0開始，每隔τ秒，輸入藥物一次（離散化是爲了簡單）；藥量隨時間變化， 在時刻t時的那次給藥量爲f(t)，關注的時刻點爲 t=0, τ，2τ，3τ，…

　　
　　 一滴藥液的在體內衰減規律 藥物以多種方式代謝 (衰減)，按假設，在τ₁時的那滴藥液含藥量f(τ₁)，當時間流逝到t時刻，假設那一滴藥物在體內的殘量是f(τ₁)* g(t，τ₁)，其中g(t，τ₁)稱爲衰減因子函數，怎麼找出衰減因子的具體結構呢？ 藥動學中有兩種衰減方式 ：

   (a)零級動力學消除，即恆速消除，如乙醇血濃>0.05 mg/ml時，較簡單；

    (b)一級動力學消除，即恆比消除，消除速度與血藥濃度成正比，如乙醇血濃<0.05 mg/ml時的衰減規律，這也相似於簡單熱傳導中散熱速度與溫差成正比。    設在τ時刻 ，輸入一滴藥，藥量爲f(τ)， 根據一級動力學消除，創建最簡單的微分方程 ；

        dg/dt =-kg

    考慮 t=τ時不衰減的初始條件，容易求得 g=e^-k(t-τ) ，  

   爲下面方便，把衰減因子改寫爲    

       g(t-τ)= e^-k(t-τ)

       因而，在τ >0時,給藥一次，藥量爲f(τ)， 

       當 t爲2τ時，血藥濃度降到  f(τ)*g(t-τ)= f(τ)*g(τ)= f(τ)(1/e^k ) 

               當 t爲3τ時，血藥濃度降到   f(τ)*g(t-τ) = f(τ)*g(2τ)= f(τ)(1/e^2k ) 

               當 t爲4τ時，血藥濃度降到   f(τ)*g(t-τ) = f(τ)*g(3τ)= f(τ)(1/e^3k )

    可見，只給藥一滴，血藥濃度衰減很快，難以治療那種要與病毒或細菌打持久戰的疾病。

 

    屢次密集給藥 或連續給藥     用τ置換讓上面的T，讓τ動起來，令τ依次取τ₁, τ₂,….. τ_n  ，則N屢次密集給藥後，當時間流逝到t時的血藥濃度是    

     ∑j f(τ_j)*g(t-τ_j)              ( 對 j=1,2,….. n  求和）

 

 前面說過，靜脈滴注是一個可離散觀察的連續過程。，因此，上面的和式可寫爲積分形式，即卷積 

     F(t)= ∫ f(τ)g(t-τ)dτ 

 

     曲線光滑工具 當f(τ )是脈衝函數時（例如考察一滴藥引起的血藥濃度），曲線顯得不夠光滑，而卷積F(t)是屢次脈衝的（平均）累積效應，或可視爲是一種加權平均，因此，F(t)的曲線就光滑一些，因此，醫生要考察N小時的滴注效果，而不察幾分鐘或一滴藥的效果。選擇適當的g(t-τ)函數，（例如，3/2次方衰減型、平方衰減性、指數衰減型、週期兼指數衰減型，...），可用卷積做爲突出不一樣加權方式的曲線光滑工具。

    比較光滑、不是陡升陡降的血藥濃度曲線代表，靜脈滴注能較好地控制血藥濃度；這大概也是有些醫生和病人喜歡它的緣由；固然，若是過度依賴靜脈滴注，則減小了免疫系統的鍛鍊機會，因此不少醫生主張，若是服藥能解決問題，就不要滴注。

    

     更多的應用實例  卷積的結果可輔助人們定量地協調脈動式輸入 f(τ) 和 衰減g(t-τ) 這一對矛盾，使得累積效應F(t)= ∫ f(τ)g(t-τ)dτ 在控制範圍內。

    例如，研究干預規則，（例如，葉酸干預新生兒腦畸形缺陷），干預爲f(τ)，複雜的衰減g(t-τ)，總的干預效果能否用卷積來粗略描述？
　　再例如，制定正確的給藥劑量和週期，例如照醫囑攝入碘或鹽；
　　又例如，制定空中打擊方案的強度和頻度，常識告訴人們，足夠的強度和密度纔能有效打擊。卷積做爲工具，或許可定量計算出最經濟打擊強度和密度。而被打擊的一方，可計算出足夠的衰減因子，使得能在被轟炸後有效恢復；戰爭是鐵血與智慧的較量，當雙方的鐵與血差很少時，如《孫子.計篇》所說，「多算勝，少算不勝」，而卷積只不過在衆多的計算方法基礎上，增長了一個算法，僅此而已,

    最近，在這個不平靜的世界上，有一場空襲和反空襲的較量，不知持續多久？10天，100天，仍是200天？研究軍事的專家或許可用卷積作個模型。

     武俠小說中，有時候看見一方逐步投入兵力，使用添油戰術，好像是屢次服藥，每次都沒有服夠量，血藥濃度低於有效門限。被逐次殲滅。

     卷積並不神祕，它有其退化版，例如水池一面進水，一面放水，求瞬時水量。當進水勻速且放水速度服從零級或一級動力學消除規律時，偶爾也做爲中小學生的數學奧賽題，基礎好的聰明學生能用初等方法計算。但當進水是1+sin(t)這樣的脈動函數，或更復雜的函數時，就只能用卷積了。

     卷積是一個老技術，對某些專業的學生是一個難點，「老技術+新講法+直觀解釋」使其容易被初學者接受。這裏要強調，直觀解釋不能取代嚴格的數學推理，這裏的班門弄斧。不能取代數學老師的正規訓練。。

 

 

 

卷積

最近老是和卷積打交道,工做須要，天天都要碰到它好幾回,不勝煩惱,由於在大學時候學信號與系統的時候就沒學會，我因而心想必定要把卷積徹底搞明白。正好同辦公室的同窗也問我什麼是卷積,師姐昨天也告訴我說:"我也早就想把這個問題搞明白了！"通過一段時間的思考以後，有一些頗有趣的體會和你們分享。

據說卷積這種運算式物理學家發明的，在實際中用得不亦樂乎，而數學家卻一直沒有把運算的意義完全搞明白。仔細品如下，仍是有那麼點滋味的。

下面先看一下劍橋大學的教科書對卷積的定義：

咱們都知道這個公式，可是它有什麼物理意義呢，平時咱們用卷積作過不少事情，信號處理時，輸出函數是輸入函數和系統函數的卷積，在圖像處理時，兩組幅分辨率不一樣的圖卷積以後獲得的互相平滑的圖像能夠方便處理。卷積甚至能夠用在考試做弊中，爲了讓照片同時像兩我的，只要把兩人的圖像卷積處理便可，這就是一種平滑的過程，但是咱們怎麼才能真正把公式和實際創建起一種聯繫呢，也就是說，咱們能不能從生活中找到一種很方便且具體的例子來表達公式的物理意義呢？

有一個七品縣令，喜歡用打板子來懲戒那些市井無賴，並且有個慣例：若是沒犯大罪，只打一板，釋放回家，以示愛民如子。

有一個無賴，想出人頭地卻沒啥期望，心想：既然揚不了善名，出惡名也成啊。怎麼出惡名？炒做唄！怎麼炒做？找名人呀！他天然想到了他的行政長官——縣令。

無賴因而光天化日之下，站在縣衙門前撒了一泡尿，後果是可想而知地，天然被請進大堂捱了一板子，而後昂首挺胸回家，躺了一天，嘿！身上啥事也沒有！次日 如法炮製，全然不顧行政長管的仁慈和衙門的體面，第三天、第四天......天天去縣衙門領一個板子回來，還喜氣洋洋地，堅持一個月之久！這無賴的名氣已 經和衙門口的臭氣同樣，傳遍八方了！

縣令大人噤着鼻子，呆呆地盯着案子上的驚堂木，擰着眉頭思考一個問題：這三十個大板子怎麼很差使捏？......想當初，本老爺金榜題名時，數學但是得了滿分，今天好歹要解決這個問題：

——人（系統！）挨板子（脈衝！）之後，會有什麼表現（輸出！）？

——費話，疼唄！

——我問的是：會有什麼表現？

——看疼到啥程度。像這無賴的體格，天天挨一個板子啥事都不會有，連哼一下都不可能，你也看到他那得意洋洋的嘴臉了（輸出0）；若是一次連揍他十個板子， 他可能會皺皺眉頭，咬咬牙，硬挺着不哼（輸出1）；揍到二十個板子，他會疼得臉部扭曲，象豬似地哼哼（輸出3）；揍到三十個板子，他可能會象驢似地嚎叫， 一把鼻涕一把淚地求你饒他一命（輸出5）；揍到四十個板子，他會大小便失禁，勉強哼出聲來（輸出1）；揍到五十個板子，他連哼一下都不可能（輸出0）——死啦！

縣令鋪開座標紙，以打板子的個數做爲X軸，以哼哼的程度（輸出）爲Y軸，繪製了一條曲線：

——嗚呼呀！這曲線象一座高山，弄不懂弄不懂。爲啥那個無賴連捱了三十天大板卻不喊繞命呀？

——呵呵，你打一次的時間間隔（Δτ=24小時）太長了，因此那個無賴承受的痛苦程度一天一利索，沒有疊加，始終是一個常數；若是縮短打板子的時間間隔 （建議Δτ=0.5秒），那他的痛苦程度可就迅速疊加了；等到這無賴挨三十個大板（t=30）時，痛苦程度達到了他能喊叫的極限，會收到最好的懲戒效果， 再多打就顯示不出您的仁慈了。

——仍是不太明白，時間間隔小，爲何痛苦程度會疊加呢？

——這與人（線性時不變系統）對板子（脈衝、輸入、激勵）的響應有關。什麼是響應？人挨一個板子後，疼痛的感受會在一天（假設的，因人而異）內慢慢消失 （衰減），而不可能忽然消失。這樣一來，只要打板子的時間間隔很小，每個板子引發的疼痛都來不及徹底衰減，都會對最終的痛苦程度有不一樣的貢獻：

t個大板子形成的痛苦程度=Σ(第τ個大板子引發的痛苦*衰減係數)[衰減係數是（t-τ）的函數，仔細品味]

數學表達爲：y(t)=∫T(τ)H(t-τ)

——拿人的痛苦來講卷積的事，太殘忍了。除了人之外，其餘事物也符合這條規律嗎？

——呵呵，縣令大人畢竟仁慈。其實除人以外，不少事情也遵循此道。好好想想，鐵絲爲何彎曲一次不折，快速彎曲屢次卻會輕易折掉呢？

——恩，一時還弄不清，容本官慢慢想來——但有一點是明確地——來人啊，將撒尿的那個無賴抓來，狠打40大板！

 

傅立葉變換和卷積的物理意義

這裏沒有數學公式，倒不是像費曼那樣高風亮節，而是這裏輸入公式太煩，否則...

忽然說這個話題是由於在水房洗衣的時候，一數學系正在刮鬍子的哥們忽然問我傅立葉變換的物理意義是什麼？當時我就死機了，不知怎麼答。

傅立葉變換伴隨了我四年，從數學分析課上學會計算，而後光學中的夫朗和費衍射，接着信號處理，而後是SRTP中的數字全息都和這個息息相關，但是，課堂上強調的是會算，會用就好了，而對其物理意義，書上語焉不詳，老師隻字未提。

傅立葉變換的產生，是一個叫約瑟夫.傅立葉的法國人《熱的分析理論》中做爲一個數學工具而引入的，因此它的發展一直在其工具出身的陰影下，對於其意義不一樣學科有不一樣版本的闡釋，但更多的是做爲一個計算工具輔助計算，因此要我說其有什麼物理意義，一時間真的不知怎麼回答。

因而我只好舉個例子，傅立葉變換在光學上的物理意義。

咱們都知道，會聚透鏡（簡單地說，就是普通的凸透鏡啦）除了具備成像性質外，最有用的就是它還具備進行二維傅 立葉變換的本領。由物理光學可知，在單位振幅的平面光波垂直照明下 的夫朗和費衍射，剛好實現衍射屏透過率函數的傅立葉變換。

即一束光經過凸透鏡在焦平面上採集到的圖像即爲這束光的頻率空間信息，亦即數學上對這束光進行一次傅立葉變換後的結果。

因此傅立葉變換在這裏的物理意義就是將光的空間分佈轉換爲頻率分佈（相空間），在靠近原點的部分爲圖像低頻部分，遠離原點部分爲圖像高頻部分。

這時那哥們就問：那麼變換後高頻部分對應圖像的哪一部分呢？由於有個老師講課時說，原來原點部分對應變換後距原點無窮遠處，而原來的無窮遠處則對應變換後的原點。（我忽然想起了倒易空間，聯想到這個沒什麼道理）

直覺上我以爲這樣說是錯誤的，由於傅立葉變換並不是一一對應的，頻率空間上任何一處，哪怕只有一點都與原來的整幅圖像有關，也就是說，這是非局域性的。

舉個例子，全息圖，任取全息圖的一部分還原（作一次逆傅立葉變換）成的圖像都是原來的整幅圖像，但因爲高頻信息的缺失因此還原圖像比原圖像要模糊。

而頻率空間體現的是什麼呢？是原圖像的變化程度。舉個最簡單的例子，一束平行光通過凸透鏡後在焦平面（即頻率空間）上會聚爲一點，在數學上就是平面波函數通過傅立葉變換後獲得一個常量（信號處理上又稱爲直流量），意思是原來的圖像（平面波）沒有"起伏"（即光強變化，由於是平行光），因此在原點（低頻）處有一點強光，數學上是衝擊函數，這樣搞過信號的人大概會共鳴了吧。

沒錯！信號書上經典例題，對階躍函數和衝擊函數經過傅立葉變換在物理光學上的對應就是平行光經過凸透鏡。

這就是傅立葉變換在光學上的物理意義，至於傅立葉變換在量子力學上的意義...不寫公式光靠文字描述的話我講不清楚。

還有就是卷積了，我只能說，它的圖像意義即是兩個函數隨着自變量的變化不斷重疊的面積的疊加，至於其物理意義我就說不清了，由於我接觸卷積以來，它都只是計算工具，拉普拉斯變換啊之類的用於計算兩個函數疊加的工具，變換以後又作逆變換，而後很方便地得出正確結果。

我知道這確定是不足的，除了知道怎麼算（這是基礎！），而後知道圖像意義，但是卷積確定有對應的物理意義。工科老師上課時只是把這個當成一個工具，能用就行，但是這對學物理的我來講，對why有一種近似着魔的obsession，就像Nolan的《The Prestige》裏面對決的兩個魔術師同樣...

P.S.Google卷積的物理意義獲得的多數是定義，數學表達，圖像意義，或者乾脆給個例題：一個系統，其單位衝激響應爲h(t)，當輸入信號爲f(t)時，該系統的輸出爲y(t)。y(t)是f(t)和h(t)的卷積。

這些都不是其物理意義，最好給一個物理過程對應卷積的計算過程。

 

 

 

那片雲：看了後有很大的收穫，開始主文及回覆均很是精彩。對理解卷積的數學物理意義頗有幫助。

下面說一下個人理解：

1.卷積是求累積值，就是某一時刻的反應，是多個反應的疊加值。

2.既然如一，就有2.1任何信號可微分紅脈衝信號的組合，依次經過系統。

2.1，系統是線性的，某時的響應是能夠當作是響應的疊加。

注：關於線性系統，能夠理解爲：若是一系統，輸入爲1時，輸出爲1；那麼輸入爲2時，輸出也爲2.而不是1.幾。

 

3.y(t)=∫T(τ)H(t-τ)，這是卷積的公式，要理解這個，首先要有時間的概念，τ，t這兩個參數的真正意義，是時間。t是某時，而τ表示從零到某時的這個時間段的某時刻。

    這個公式包括兩個部份，前面的表示脈衝強度，τ時刻的脈衝強度；是後面的是單位脈衝響應函數，

或者說是響應的衰減函數，由於響應隨着時間的推移而減弱，就像疼痛會減弱同樣這樣更好理解，而個體表示的是t時刻時，τ時刻的脈衝響應的值。那麼整個式子就表示，強度*衰減係數。疊加到一起，就是t時刻的響應了。

如上圖，脈衝的強度，和些脈衝響應的強度在時間上的關係。而卷積無非就是強度和時間上的關係。

、、、、、、、、、、、、、、、、、、、

最幽默的解釋 卷積的物理意義

談起卷積分固然要先說說衝擊函數—-這個倒立的小蝌蚪，卷積其實就是爲它誕生的。」衝擊函數」是狄拉克爲了解決一些瞬間做用的物理現象而提出的符號。

古人曰：」說一堆大道理不如舉一個好例子」，衝量這一物理現象很能說明」衝擊函數」。在t時間內對一物體做用F的力，咱們可讓做用時間t很小，做用力F很大，但讓Ft的乘積不變，即衝量不變。因而在用t作橫座標、F作縱座標的座標系中，就如同一個面積不變的長方形，底邊被擠的窄窄的，高度被擠的高高的，在數學中它能夠被擠到無限高，但即便它無限瘦、無限高、但它仍然保持面積不變（它沒有被擠沒！），爲了證明它的存在，能夠對它進行積分，積分就是求面積嘛！因而」卷積」 這個數學怪物就這樣誕生了。說它是數學怪物是由於追求完美的數學家始終在頭腦中轉不過來彎，一個能瘦到無限小的傢伙，竟能在積分中佔有一席之地，必須將這個細高挑清除數學界。但物理學家、工程師們確很是喜歡它，由於它解決了不少當時數學家解決不了的實際問題。最終追求完美的數學家終於想通了，數學是來源於實際的，並最終服務於實際纔是真。因而，他們爲它量身定作了一套運做規律。因而，媽呀！你我都感受眩暈的卷積分產生了。

 

例子：

有一個七品縣令，喜歡用打板子來懲戒那些市井無賴，並且有個慣例：若是沒犯大罪，只打一板，釋放回家，以示愛民如子。

有一個無賴，想出人頭地卻沒啥期望，心想：既然揚不了善名，出惡名也成啊。怎麼出惡名？炒做唄！怎麼炒做？找名人呀！他天然想到了他的行政長官——縣令。

無賴因而光天化日之下，站在縣衙門前撒了一泡尿，後果是可想而知地，天然被請進大堂捱了一板子，而後昂首挺胸回家，躺了一天，嘿！身上啥事也沒有！次日如法炮製，全然不顧行政長管的仁慈和衙門的體面，第三天、第四天……天天去縣衙門領一個板子回來，還喜氣洋洋地，堅持一個月之久！這無賴的名氣已經和衙門口的臭氣同樣，傳遍八方了！

縣令大人噤着鼻子，呆呆地盯着案子上的驚堂木，擰着眉頭思考一個問題：這三十個大板子怎麼很差使捏？……想當初，本老爺金榜題名時，數學但是得了滿分，今天好歹要解決這個問題：

——人（系統！）挨板子（脈衝！）之後，會有什麼表現（輸出！）？

——費話，疼唄！

——我問的是：會有什麼表現？

——看疼到啥程度。像這無賴的體格，天天挨一個板子啥事都不會有，連哼一下都不可能，你也看到他那得意洋洋的嘴臉了（輸出0）；若是一次連揍他十個板子，他可能會皺皺眉頭，咬咬牙，硬挺着不哼

（輸出1）；揍到二十個板子，他會疼得臉部扭曲，象豬似地哼哼（輸出3）；揍到三十個板子，他可能會象驢似地嚎叫，一把鼻涕一把淚地求你饒他一命（輸出5）；揍到四十個板子，他會大小便失禁，勉

強哼出聲來（輸出1）；揍到五十個板子，他連哼一下都不可能（輸出0）——死啦！

縣令鋪開座標紙，以打板子的個數做爲X軸，以哼哼的程度（輸出）爲Y軸，繪製了一條曲線：

——嗚呼呀！這曲線象一座高山，弄不懂弄不懂。爲啥那個無賴連捱了三十天大板卻不喊繞命呀？

—— 呵呵，你打一次的時間間隔（Δτ=24小時）太長了，因此那個無賴承受的痛苦程度一天一利索，沒有疊加，始終是一個常數；若是縮短打板子的時間間隔（建議 Δτ=0.5秒），那他的痛苦程度可就迅速疊加了；等到這無賴挨三十個大板（t=30）時，痛苦程度達到了他能喊叫的極限，會收到最好的懲戒效果，再多打就顯示不出您的仁慈了。

——仍是不太明白，時間間隔小，爲何痛苦程度會疊加呢？

——這與人（線性時不變系統）對板子（脈衝、輸入、激勵）的響應有關。什麼是響應？人挨一個板子後，疼痛的感受會在一天（假設的，因人而異）內慢慢消失（衰減），而不可能忽然消失。這樣一來，只要打板子的時間間隔很小，每個板子引發的疼痛都來不及徹底衰減，都會對最終的痛苦程度有不一樣的貢獻：

t個大板子形成的痛苦程度=Σ(第τ個大板子引發的痛苦*衰減係數)

[衰減係數是（t-τ）的函數，仔細品味]

數學表達爲：y(t)=∫T(τ)H(t-τ)

——拿人的痛苦來講卷積的事，太殘忍了。除了人之外，其餘事物也符合這條規律嗎？

——呵呵，縣令大人畢竟仁慈。其實除人以外，不少事情也遵循此道。好好想想，鐵絲爲何彎曲一次不折，快速彎曲屢次卻會輕易折掉呢？

——恩，一時還弄不清，容本官慢慢想來——但有一點是明確地——來人啊，將撒尿的那個無賴抓來，狠打40大板！

 

卷積及拉普拉斯變換的通俗解釋–對於我這類沒學過信號系統的人來講太須要了

卷積(convolution, 另外一個通用名稱是德文的Faltung)的名稱由來，是在於當初定義它時，定義成 integ(f1(v)*f2(t-v))dv，積分區間在0到t之間。舉個簡單的例子，你們能夠看到，爲何叫」卷積」了。比方說在(0，100)間積分，用簡單的辛普生積分公式，積分區間分紅100等分，那麼看到的是f1(0)和f2(100)相乘，f1(1)和f2(99)相乘，f1(2)和f2 (98)相乘，……… 等等等等，就象是在座標軸上回卷同樣。因此人們就叫它」回捲積分」，或者」卷積」了。

爲了理解」卷積」的物理意義，不妨將那個問題」至關於它的時域的信號與系統的單位脈衝響應的卷積」略做變化。這個變化純粹是爲了方便表達和理解，不影響任何其它方面。將這個問題表述成這樣一個問題：一個信號經過一個系統，系統的響應是頻率響應或波譜響應，且看如何理解卷積的物理意義。

假設信號函數爲f, 響應函數爲g。f不只是時間的函數(信號時有時無)，仍是頻率的函數(就算在某一固定時刻，還有的地方大有的地方小)；g也是時間的函數(有時候有反應，有時候沒反應)，同時也是頻率的函數(不一樣的波長其響應程度不同)。那咱們要看某一時刻 t 的響應信號，該怎麼辦呢？

這就須要卷積了。

要看某一時刻 t 的響應信號，天然是看下面兩點：

1。你信號來的時候正遇上人家」系統」的響應時間段嗎？

2。就算遇上系統響應時間段，響應有多少？

響 應不響應主要是看 f 和 g 兩個函數有沒有交疊；響應強度的大小不只取決於所給的信號的強弱，還取決於在某頻率處對單位強度響應率。響應強度是信號強弱和對單位強度信號響應率的乘積。」交疊」體如今f(t1)和g(t-t1)上，g之因此是」(t-t1)」就是看兩個函數錯開多少。

因爲 f 和 g 兩個函數都有必定的帶寬分佈(倘若不用開頭提到的」表述變化」就是都有必定的時間帶寬分佈)，這個信號響應是在必定」範圍」內普遍響應的。算總的響應信號，固然要把全部可能的響應加起來，實際上就是對全部可能t1積分了。積分範圍雖然通常在負無窮到正無窮之間；但在沒有信號或者沒有響應的地方，積也是白積，結果是0，因此每每積分範圍能夠縮減。

這就是卷積及其物理意義啊。併成一句話來講，就是看一個時有時無(固然做爲特例也能夠永恆存在)的信號，跟一個響應函數在某一時刻有多大交疊。

*********拉普拉斯*********

拉普拉斯(1729-1827) 是法國數學家，天文學家，物理學家。他提出拉普拉斯變換(Laplace Transform) 的目的是想要解決他當時研究的牛頓引力場和太陽系的問題中涉及的積分微分方程。

拉普拉斯變換實際上是一個數學上的簡便算法；想要了解其」物理」意義 — 若是有的話 — 請看我舉這樣一個例子：

問題：請計算十萬乘以一千萬。

對於沒學過指數的人，就只會直接相乘；對於學過指數的人，知道不過是把乘數和被乘數表達成指數形式後，兩個指數相加就好了；若是要問到底是多少，把指數轉回來就是。

「拉 普拉斯變換」 就至關於上述例子中把數轉換成」指數」 的過程；進行了拉普拉斯變換以後，複雜的微分方程(對應於上例中」複雜」的乘法) 就變成了簡單的代數方程，就象上例中」複雜」的乘法變成了簡單的加減法。再把簡單的代數方程的解反變換回去(就象把指數從新轉換會通常的數同樣)，就解決了原來那個複雜的微分方程。

因此要說拉普拉斯變換真有」 物理意義」的話，其物理意義就至關於人們把通常的有理數用指數形式表達同樣。

另外說兩句題外話：

1 。拉普拉斯變換之因此如今在電路中普遍應有，根本緣由是電路中也普遍涉及了微分方程。

2。拉普拉斯變換與Z變換固然有緊密聯繫；其本質區別在於拉氏變換處理的是時間上連續的問題，Z變換處理的是時間上分立的問題。

 

[有獎討論] 卷積運算的實際意義是什麼？

卷積運算是信號處理常規的一個運算過程。

 

做爲一個重要的基礎，請你們討論，也就是從概念，應用方向等去談談它的意義。

 

信號處理對不少朋友來講可能比較難，做爲基礎，咱們不能小看它的做用。

 

歡迎參與討論。:)

 

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

一個我以爲比較精彩的發言。。。開個頭！

 

從數學的角度分析：

 

      信號處理是將一個信號空間映射到另一個信號空間，一般就是時域到頻域，（還有z域，s域），信號的能量就是函數的範數（信號與函數等同的概念），你們都知道有個Paserval定理就是說映射先後範數不變，在數學中就叫保範映射，實際上信號處理中的變換基本都是保範映射，只要Paserval定理成立就是保範映射（就是能量不變的映射）。

 

     前面說的意思就是信號處理的任務就是尋找和信號集合對應的一個集合，而後在另一個集合中分析信號，Fourier變換就是一種，它創建了時域中每一個信號函數與頻域中的每一個頻譜函數的一一對應關係，這是元素之間的對應，那麼運算之間的對應呢，在時域的加法對應頻域中的加法，這就是FT線性性的體現，那麼時域的乘法對應什麼呢，最後獲得的那個表達式咱們就把它叫卷積，就是對應的頻域的卷積。

longdi 發表於 2006-11-16 16:11

對於卷積，下面是個人理解，若是錯誤，敬請指出，謝謝！

 

1。兩個時域上的函數作卷積能夠這樣理解：一個函數表徵一個線性系統的

衝激響應，這個系統能夠是時變的，但必定要是線性的；另外一個函數表徵

輸入到該系統的信號；卷積的結果表徵線性系統的輸出。對於非線性系統，

輸出信號沒法表示爲輸入信號與系統衝激響應的卷積，因此有些教材是叫做

信號與線性系統，強調系統的線性。

 

2。兩個時域上的函數作卷積還能夠這樣理解：輸出表徵作卷積的兩個函數

在特定時刻看來的相關程度，固然此時其中一個函數已經被看做是y(tao)=x(t-tao)

了，特定時刻的輸出越大，這兩個函數在這一時刻看來類似程度就越好。

gable 發表於 2006-11-24 12:13

前兩天看MATLAB教程中多項式相乘時候突然想到一點，談一下本身的見解，有不足之處還請高人指點。

 

拿離散信號開刀

 

卷積的表達式爲 y(n)=∑x(k)×h(n-k)或y(n)=∑x(n-k)×h(k)

 

這裏的n-k表示h從負無窮移動到正無窮，每移動一個單位都同x相乘，全部的乘積項相加後就獲得了y。

 

再看一下多項式的乘法

 

(……x^2+x+1……)×(x^2+3x-3)

=(……x^2+x+1……) ×x^2+(……x^2+x+1……) ×3x-(……x^2+x+1……) ×3

 

因爲多項式是固定的，少了反折和平移，但我以爲這樣更容易理解卷積的數學表達式

 

物理意義就是：任何一個信號均可以表示成單位衝擊信號之和。當這個信號經過一個線性系統時，若系統的衝擊響應已知，則只需將表示該信號的每個單位衝擊信號在不一樣時延後的衝擊響應疊加，總和就是輸出信號。

liukeke498 發表於 2006-12-11 19:48

很贊同樓上說的多項式的乘法的例子，從時域和z域的關係也能夠理解。兩個多項式相乘就是

(a(0)+a(1)*z^(-1)+a(2)*z^(-2)......+a(p)z^(-p))*(b(0)+b(1)*z^(-1)+b(2)*z^(-2)+....+b(q)z^(-q))=c(0)+c(1)z^(-1)+c(2)z^(-2)+....+c(p+q)z^(p+q)

z域的乘積對應時域的卷積，所以乘積後的係數序列（c(0),c(1)....c(p+q))即爲序列a(0)....a（p）與序列b(0)...b(q)進行線性卷積而獲得

jumpyists 發表於 2006-12-29 13:44

一點感想

2。兩個時域上的函數作卷積還能夠這樣理解：輸出表徵作卷積的兩個函數

在特定時刻看來的相關程度，固然此時其中一個函數已經被看做是y(tao)=x(t-tao)

了，特定時刻的輸出越大，這兩個函數在這一時刻看來類似程度就越好。

 

 

這話好像有問題？相關函數和卷積是不同的，翻翻信號與系統吧

根據我我的的理解卷積運算之因此對於線形非時變系統如此重要

其緣由有兩點：

   1 一個線性非時變系統對於單頻正弦信號或復指信號的響應仍然是單頻正弦信號或復指信號只是幅度上進行了

      加權，可見線性非時變系統對基本信號的響應如此簡單就令人想到可否將對複雜信號的響應轉化爲對簡單

      信號的響應的求解？

   2 傅立葉級數傅立葉變換就告訴咱們如何將一個信號分解爲基本信號

因此對一個信號的響應求解的過程爲：

     首先將其分解爲基本信號

      而後對每一個基本信號求響應

而卷積則正是這一過程的一個綜合表示

因此卷積是如此的重要！！！！！

還有一個很重要的緣由是實際物理系統一般均可以近似爲線性非時變系統或幾個線性非時變系統的互聯

因此因此卷積更更更重要了！！！！！

dragonkiss 發表於 2006-12-29 15:22

[quote]原帖由 [i]jumpyists[/i] 於 2006-12-29 13:44 發表

2。兩個時域上的函數作卷積還能夠這樣理解：輸出表徵作卷積的兩個函數

在特定時刻看來的相關程度，固然此時其中一個函數已經被看做是y(tao)=x(t-tao)

了，特定時刻的輸出越大，這兩個函數在這一時刻看來類似程度 ... [/quote]

 

 

這個問題多是各人理解的不一樣，能夠和原來的朋友PM溝通一下。:)

longdi 發表於 2007-1-1 23:41

我說的相關不徹底是嚴格定義上的相關，不過我以爲能夠近似

那樣理解卷積。

[quote]原帖由 [i]jumpyists[/i] 於 2006-12-29 13:44 發表

2。兩個時域上的函數作卷積還能夠這樣理解：輸出表徵作卷積的兩個函數

在特定時刻看來的相關程度，固然此時其中一個函數已經被看做是y(tao)=x(t-tao)

了，特定時刻的輸出越大，這兩個函數在這一時刻看來類似程度 ... [/quote]

ycx198 發表於 2007-1-2 21:01

我比較贊同卷積的相關性的做用  在通訊系統中的接收機部分MF匹配濾波器等就是本質上的相關

匹配濾波器最簡單的形式就是原信號反轉移位相乘積分獲得的近似＝相關

相關性越好獲得的信號越強   這個咱們有一次大做業作的  作地作到嘔吐  呵呵

還有解調中一些東西本質就是相關  有機會再說哈  偶正在研究這個聶  呵呵

longdi 發表於 2007-1-19 21:44

2。兩個時域上的函數作卷積還能夠這樣理解：輸出表徵作卷積的兩個函數

在特定時刻看來的相關程度，固然此時其中一個函數已經被看做是y(tao)=x(t-tao)

了，特定時刻的輸出越大，這兩個函數在這一時刻看來類似程度 ...

這話好像有問題？相關函數和卷積是不同的[/quote]

程乾生老師的《信號數字處理的數學原理》（這本書本網站有的）

Page240有這樣的一段話：

「這說明，儘管褶積與相關是從研究不一樣的問題提出來的，可是兩者的實質是相同的，

相關是一種褶積，褶積也是一種相關。」

xiaomifeng134 發表於 2007-1-25 22:52

對於一f(t)，把要考慮的從0到t的時間間隔等分紅寬度爲t1的n個小間隔，各脈衝的寬度都等於着間隔的寬度t1，各脈衝的高度分別等於他左邊所在時間[(k-1)*t1]的函數值。當t1甚小時這些脈衝分別用一些衝激函數來近似地表示，各衝激函數的位置就是它所表明的脈衝左側邊所在的時間，各衝激函數的強度就是它所表明的脈衝的面積。此時f(t)=f(0)*t1*delta(t) +...+f(k*t1)*t1*delta(t-k*t1)+...1=<k<=n,而對於一衝激響應爲h(t)的線性系統，當輸入f(t)時，輸出爲y(t)=f(0)*t1*h(t)+...+f(k*t1)*t1*h(t-k*t1)+...當t1趨於零時，y(t)就可表示爲f(t)與h(t)的卷積。

 

longdi 發表於 2007-2-21 21:49

另外，關於相關和卷積的關係，我前面也說了本身的觀點，

後來也在程乾生老師的《信號數字處理的數學原理》看到了他的觀點：

程乾生老師的《信號數字處理的數學原理》（這本書本網站有的）

Page240有這樣的一段話：

「這說明，儘管褶積與相關是從研究不一樣的問題提出來的，可是兩者的實質是相同的，

相關是一種褶積，褶積也是一種相關。」

網絡上每一個人都有發表本身觀點的權利，也有捍衛本身觀點的權利，

當網絡上缺少一個你們公認的權威時，說服別人就成了件比較困難的事。

temp_110 發表於 2008-1-7 21:43

若是當作運算規則，卷積就是乘法的另外一種表示。

相關在形式上和卷積同樣，可是相關顯然有統計學上的含義。

 

[[i] 本帖最後由 temp_110 於 2008-1-7 21:48 編輯 [/i]]

quit2468 發表於 2008-1-17 10:49

根據定義而言卷積和相關根本就不是一個東西，硬要說聯繫，也就一個信號——好比說x[k]的自相關能夠寫成x[k]與x[-k]的卷積。

我對卷積的理解沒有樓上各位那麼深，我以爲單吧卷積隔離開來看什麼都不是，卷積無非兩個做用，一是將時域與頻域的運算聯繫上，二是信號經過一個系統還有系統的級聯就是用卷積來表示的——就像1+1+1能夠用1*3表示同樣，這裏面乘法沒有什麼意義可言

bluebolt 發表於 2008-1-19 20:06

根據定義而言卷積和相關根本就不是一個東西，硬要說聯繫，也就一個信號——好比說x[k]的自相關能夠寫成x[k]與x[-k]的卷積。

我對卷積的理解沒有樓上各位那麼深，我以爲單吧卷積隔離開來看什麼都不是，卷積無非兩個做 ...

             

贊成樓上的觀點 卷積與相關不同

若要說相同那只是在數學表達形式上相似

從物理意義上說

卷積主要用於求輸入信號通過系統後的響應 得出的結果仍然是時域上的函數

相關則是求兩個信號的類似程度 得出的結果可用一個歸一化的參數表示

obnewux 發表於 2008-1-27 11:29

我的也認爲卷積和相關是不一樣的。剛作了一個項目涉及到相關。假設將信號x(n)和y(n)相關，那麼爲了利用FFT變換，能夠這樣實現。

將x(n)倒序，即將x(1),x(2),……,x(n)變爲X=[x(n),x(n-1),……,x(1)]，將其做FFT爲XF。對信號y(n)直接做FFT變爲YF。那麼相關值就等於z=ifft(XF*YF)。

所以，只有將其中一個信號反序，再與另外一個信號卷積，才能夠等效於相關。

obnewux 發表於 2008-1-27 11:36

另外，我還想問個問題：

在咱們做項目的時候對於卷積處理都是以下進行的，不知道對不對。

假設輸入x(i)，濾波器係數爲h(i)，長度分別爲m和n。x(i)經過濾波器至關於卷積，那麼輸出y(i)的長度應該爲m+n-1。而咱們在仿真中爲了保證輸入輸出長度一致，咱們取了y(i)的中間部分做爲輸出，即i=[1:n/2]以及i=[m+n-1-n/2:m+n-1]這部分的數據就不要了。中間部分長度剛剛是m。

不知道這樣處理對不對

請你們指教。

hjihxb 發表於 2008-2-10 17:09

卷積與相關相似在數學上表現爲乘積和，但卷積須要反摺，而相關不須要，

所以相同的兩個數列卷積與相關是不一樣的。

asdf229955 發表於 2008-3-25 17:47

卷積是分析數學中一種重要的運算。設: <math> f(x)</math>,<math>g(x)</math>是R1上的兩個可積函數，做積分：

 

<math> \int f(\tau) g(x - \tau)\, d\tau</math>

能夠證實，關於幾乎全部的x∈(－∞，∞) ，上述積分是存在的。這樣，隨着x的不一樣取值，這個積分就定義了一個新函數h(x)，稱爲f與g的卷積，記爲h（x）＝（f *g）（x）。容易驗證，（f *g）（x）＝（g *f）（x），而且（f *g）（x）仍爲可積函數。這就是說，把卷積代替乘法，L1（R1）1空間是一個代數，甚至是巴拿赫代數。

 

卷積與傅里葉變換有着密切的關係。利用一點性質，即兩函數的傅里葉變換的乘積等於它們卷積後的傅里葉變換，能使傅里葉分析中許多問題的處理獲得簡化。

 

由卷積獲得的函數（f *g）（x），通常要比f，g都光滑。特別當g爲具備緊支集的光滑函數，f 爲局部可積時，它們的卷積（f *g）（x）也是光滑函數。利用這一性質，對於任意的可積函數 ， 均可以簡單地構造出一列逼近於f 的光滑函數列fs（x），這種方法稱爲函數的光滑化或正則化。

 

卷積的概念還能夠推廣到數列 、測度以及廣義函數上去。

 

定義

函數f 與g 的卷積記做<math>f \star g</math>，它是其中一個函數翻轉並平移後與另外一個函數的乘積對於平移量的積分。

 

<math>(f \star g )(t) = \int f(\tau) g(t - \tau)\, d\tau</math>

積分區間取決於f 與g 的定義域。

 

對於定義在離散域的函數，卷積定義爲

 

<math>(f \star g)[m] = \sum_n {f[n] g[m - n]} </math>

 

[編輯]多元函數卷積

按照翻轉、平移、積分的定義，還能夠相似的定義多元函數上的積分：

 

<math>(f \star g )(t_1,t_2,\cdots,t_n) = \int\int\cdots\int f(\tau_1,\tau_2,\cdots,\tau_n) g(t_1 - \tau_1,t_2 - \tau_2,\cdots,t_n - \tau_n,)\, d\tau_1 d\tau_2 \cdots d\tau_n</math>

性質

各類卷積算子都知足下列性質

 

交換律

<math>f \star g = g \star f \,</math>

結合律

<math>f \star (g \star h) = (f \star g) \star h \,</math>

分配律

<math>f \star (g + h) = (f \star g) + (f \star h) \,</math>

數乘結合律

<math>a (f \star g) = (a f) \star g = f \star (a g) \,</math>

其中<math>a</math>爲任意實數（或複數）。

 

微分定理

<math>\mathcal{D}(f \star g) = \mathcal{D}f \star g = f \star \mathcal{D}g \,</math>

其中Df 表示f的微分，若是在離散域中則是指差分算子，包括前向差分與後向差分兩種：

 

前向差分：<math>\mathcal{D}^+f(n) = f(n+1) - f(n)</math>

後向差分：<math>\mathcal{D}^-f(n) = f(n) - f(n-1)</math>

卷積定理

卷積定理指出，函數卷積的傅里葉變換是函數傅里葉變換的乘積。即，一個域中的卷積至關於另外一個域中的乘積，例如時域中的卷積就對應於頻域中的乘積。

 

<math> \mathcal{F}(f \star g) = \mathcal{F} (f) \cdot \mathcal{F} (g) </math>

其中<math>\mathcal{F}(f)</math>表示f 的傅里葉變換。

 

這必定理對拉普拉斯變換、雙邊拉普拉斯變換、Z變換、Mellin變換和Hartley變換（參見Mellin inversion theorem）等各類傅里葉變換的變體一樣成立。在調和分析中還能夠推廣到在局部緊緻的阿貝爾羣上定義的傅里葉變換。

 

利用卷積定理能夠簡化卷積的運算量。對於長度爲<math>n</math>的序列，按照卷積的定義進行計算，須要作<math>2n-1</math>組對位乘法，其計算複雜度爲<math>\mathcal{O}(n^2)</math>；而利用傅里葉變換將序列變換到頻域上後，只須要一組對位乘法，利用傅里葉變換的快速算法以後，總的計算複雜度爲<math>\mathcal{O}(n\log n)</math>。這一結果能夠在快速乘法計算中獲得應用。

 

在羣上的卷積

若G 是有某m測度的羣（例如Hausdorff空間上Harr測度下局部緊緻的拓撲羣），對於G 上m-Lebesgue可積的實數或複數函數f 和g，可定義它們的卷積：

 

<math>(f \star g)(x) = \int_G f(y)g(xy^{-1})\,dm(y) \,</math>

對於這些羣上定義的卷積一樣能夠給出諸如卷積定理等性質，可是這須要對這些羣的表示理論（group representation）以及調和分析的Peter-Weyl定理。

 

應用

卷積在工程和數學上都有不少應用：

 

統計學中，加權的滑動平均是一種卷積。

機率論中，兩個統計獨立變量X與Y的和的機率密度是X和Y的機率密度的卷積。

聲學中，回聲能夠用源聲與一個反映各類反射效應的函數的卷積表示。

電子工程與信號處理中，任一個線性系統的輸出均可以經過將輸入信號與系統函數（系統的衝擊響應）作卷積得到。

物理學中，任何一個線性系統（符合疊加原理）都存在卷積。

buzhiyao 發表於 2008-3-27 10:41

卷積能夠看做是加權的過程，從這個意義講就是信號處理中的濾波器，

也能夠視爲求兩個相卷的函數的類似程度的過程，好比數學中的求內積

zbbzyp 發表於 2008-3-27 21:02

另外，我還想問個問題：

在咱們做項目的時候對於卷積處理都是以下進行的，不知道對不對。

假設輸入x(i)，濾波器係數爲h(i)，長度分別爲m和n。x(i)經過濾波器至關於卷積，那麼輸出y(i)的長度應該爲m+n-1。而咱們在仿真中爲了保證輸入輸出長度一致，咱們取了y(i)的中間部分做爲輸出，即i=[1:n/2]以及i=[m+n-1-n/2:m+n-1]這部分的數據就不要了。中間部分長度剛剛是m。

不知道這樣處理對不對

請你們指教。

 

這樣做可能會出問題的。

在數字信號處理中，一個有限長度爲m的信號，經過一個長度爲n的系統（單位衝激響應）；

那麼輸出也應該取m點。

雖然用卷積運算會獲得m＋n－1點輸出數據，可是須要根據濾波器的延時進行輸出信號的截取。

好比濾波器的延時爲l，那麼應該從第l點開始截取輸出信號。

zbbzyp 發表於 2008-3-27 21:09

從連續信號處理來考慮；

卷積是經過簡單的脈衝信號的系統響應，來獲得複雜信號的系統響應；

連續信號能夠看做是無窮多脈衝信號的疊加；

每一個脈衝信號的系統響應是已知的，其幅度爲脈衝的強度；

這樣根據線型系統的可加性，就獲得了卷積公式。

 

卷積運算是線型系統分析的基礎；

另外，時域卷積對應於頻域相乘，這簡化了運算。

沒用的阿吉 發表於 2008-5-30 11:01

首先，注意卷積運算的前提，它必須針對線性系統。只有在知足這個前提的條件下，才能將輸入信號進行分解，將輸出進行疊加。

其次，贊成xiaomifeng134 的說法，這個也是採用卷積運算的目的所在，是爲了求解在任意激勵下經過線性系統的零狀態相應。至於積分的意義就不用多說了，無非就是面積而已。

最後，想說說卷積和相關。我的認爲二者並沒有聯繫，純粹形似而已。就算勉強能夠理解爲相關性，那也是一個函數與另外一個函數的翻轉函數之間的相關性。

 

一家之言，望你們批評指正。

farmingyard 發表於 2008-5-30 13:59

卷積運算只適用於LTI（線性時不變）系統，這是總的前提！

在LTI系統中，任何信號都能進行分解，這是最關鍵的！信號分解是LTI系統分析中最基本的手段，有普遍地應用！

可是從系統響應的求解角度來看，將任意信號分解爲衝擊函數或衝擊序列的線性組合是最爲有利的！

將信號分解爲衝擊函數（衝擊序列）的線性組合以後，因爲LTI系統知足比例性和疊加性，因此，信號通過該系統以後的響應也能夠用函數的線性組合，只不過此時再也不是衝擊了，而是衝擊響應！對於連續信號，該組合爲積分形式，即卷積積分；對於離散系統，該組合爲求和形式，即卷積和！

因爲剛剛學過該課程，因此說說，和你們交流一下！請指正！

SevenGirl 發表於 2008-6-4 22:27

感受卷積，在信號中就主要是時域、頻域轉換。利用卷積提取先後序列中蘊含的關係。卷積在其餘領域也有不少運用，例如在編碼中，有卷積碼，就是運用原碼中先後序列的碼字肯定當前編碼輸出，Turbo碼就能夠認爲是一種卷積碼。

farui 發表於 2008-6-15 00:33

卷積與相關相似在數學上表現爲乘積和，但卷積須要反摺，而相關不須要，

所以相同的兩個數列卷積與相關是不一樣的。 [/quote]

             

沒錯，卷積與相關在數學上的不一樣，也決定了他們的物理意義是不一樣的

卷積能夠表示一個信號經過一個線性時不變系統，而相關是用來反映兩個信號的類似程度。

這是個人理解。

handchief581 發表於 2008-6-15 18:05

說到卷積，其意義的前提創建這兩個條件之下：一是任意的數字信號均可以表示成單位脈衝之線性組合，二是該系統也是線性的。

若是說的比較通俗一點的意思就是說，若是我給一個系統一個脈衝激勵，系統會給你一個相對應的響應；若是是一個由脈衝的線性組合給系統激勵，那麼該激勵的響應就是線性組合的因子與脈衝響應的卷積。

不知道我得認識有沒有錯誤，可能說的不是很是的嚴謹，能夠這樣去理解。

frdcmimo 發表於 2008-6-24 20:06

樓上說的不錯。實際上當一組信號經過一個器件，或者說傳遞函數時，它的輸出是什麼呢。無疑用衝擊響應能夠很好的描述這一過程。而當這些響應應該是線性可加的，這一過程就被描述爲卷積。它毫不僅在信號處理中出現，在自動控制也是最多見的問題。固然也有不少非線性器件，好比限幅器，好比回滯器等。

卷積就不夠描述了。