拓撲排序（topsort）算法詳解

　　在圖論中，由某個集合上的偏序獲得全序的策略就是拓補排序算法。拓撲排序常出如今涉及偏序關係的問題中，例如時序的前後、事物的依賴等。針對這些問題拓撲排序一般能有效地給出可行解。

　　爲了便於理解，咱們先來看一個實例，開源軟件常使用GNU make工具來管理項目的構建，這裏的「項目」是由若干個「對象」構成的。Makefile文件則描述了這些「對象」的構建規則，即給出一系列對象間的依賴關係。若對象A依賴於對象B，則說明對象B必須先於對象A構建，不然構建將沒法進行。make的任務就是合理安排各個對象構建的前後順序，使得過程能順利地完成。

　　做爲例子，一個Makefile文件的內容以下：每行描述一個規則。例如第一行指明對象foo.o和bar.o必須先於target構建。

target: foo.o bar.o

foo.o: foo.c foo.h
bar.o: bar.c bar.h

　　咱們先對問題進行數學轉化。離散數學爲咱們描述對象間的關係提供了有力工具——偏序。令X爲全部要研究的對象的集合。集合X上的一個關係R是偏序，當且僅當R知足自反性、對稱性、傳遞性。

　　定義以下關係：xRy：x必須先於y被構建，即y依賴x，由於R知足偏序的性質，xRy也記爲x≼y。到此咱們成功地對問題進行了建模。接下來使用DAG來表示每一個對象間的關係，圖的每個頂點表示一個對象、有向線段表示關係 _起點≼_終點。

　　　　　　　　　　　　　　（圖一）

　　如何合理佈局各個對象的構建順序，使得構建過程能夠順利地進行下去呢？假設咱們根本不知道拓撲排序，直觀的想法是：先選擇不被其它對象依賴的做爲第1個對象；再考慮第2個對象，它除了已選的第1個對象外，不該該被其它對象依賴；選擇第n個對象，它除了前面已選的第1~n-1對象外，不能再被其它對象依賴。按照這個規則依次選出對象，便可保證構建過程順利結束。

　　能夠證實這種直觀想法是正確的。這種策略的結果用下圖描述，可是，這並非真正的拓撲排序：

　　　　　　　　　　　　　　（圖二）

　　問題在於，獲得的圖並無反映排序後各對象間的關係，充其量不過把圖從新擺了一個形態，而圖所描述的關係並無本質的改變。如何解決這一問題？這就要引入全序。從圖中直觀地看出，只有部分對象之間具備偏序關係，做爲反例，bar.h與bar.c之間無偏序關係，所以R不是集合X上的全序關係。試想在圖中，若是爲每一對不能比較的對象<u,v>，強制添加一個關係u≼v，使得集合X中每兩個對象都能創建關係，則R就成爲了X上的全序關係，如圖三所示。

　　　　　　　　　　　　　　（圖三）

　　按照Hass圖的順序排列各個頂點獲得圖三，咱們發現從最底部頂點bar.c出發，總有一條路徑能走完全部頂點併到達最頂部頂點target，所以咱們獲得的結果拓撲有序。線性排列全部頂點，以下圖所示：

　　這個結果即是原問題的拓撲排序。由於添加關係u≼v的方法不惟一，因此拓撲排序不是惟一的。但不管哪一種狀況，拓撲排序都知足一個關鍵的性質：沒有一個節點指向它前面的節點，形式化地描述：對於圖中的任意兩個結點u和v，若存在一條有向邊<u,v>，則在拓撲排序中u必定出如今v前面。這條性質描述了拓撲排序的本質，爲咱們編寫可行的算法提供了依據。

　　另一些須要知道的定理是，有向圖拓撲排序存在的充分必要條件是圖爲DAG（有向無環圖），這個結論用於判斷問題是否有解，也可用於判斷一個有向圖是否有環。

 

　　算法的求解過程以下：首先統計全部頂點的入度。而後：

a.	尋找全部入度爲0的頂點，追加到結果序列末尾並將其從圖中移除，同時將其全部鄰接頂點的入度減一。
b.	重複a，直到全部頂點都從圖中移除。

　　算法結束時，所得結果序列即是最終答案。
　　對於任意一個可能帶環的有向圖，在尋找入度爲0的頂點時，若是找不到，說明圖的拓撲排序是不存在的，即問題無解。

 

　　上述的「移除」是邏輯層面的概念，具體實現中，咱們不須要真正地將頂點從圖中移除，由於某次a.中找到的入度爲0的頂點只可能出如今上一次a.中入度被減一的頂點中。當a找到入度爲0的頂點時，就會把它的鄰接頂點的入度減一，這時即可以順便統計入度減爲0的頂點，下次a直接從這些入度爲0的頂點開始，無需再從整個圖中尋找入度爲0的頂點。

　

　　最後經過一道UVa的題目來講明算法的具體實現：

UVa10305（Ordering Tasks）

題目大意

　　給出一堆任務，其中一個任務必須在它依賴的全部任務都完成後才能執行。已知任務之間的關係，求可能的執行順序。

分析

　　思路與make的例子一致。這裏使用vector存儲鄰接表，數組deg_in維護每一個頂點的入度，隊列que維護每趟中入度被減爲0的頂點。

參考代碼

#include <iostream>
#include <queue>
#define N 100+2

using namespace std;

static vector<int> con[N];
static int deg_in[N];

int main(void) {
    ios::sync_with_stdio(false);
    
    int n,m;
    while((cin >> n >> m) && n) {
        for(int i=1;i<=n;++i) {
            con[i].clear();
            deg_in[i] = 0;
        }
        
        for(int i=0; i<m; ++i) {
            int a,j;
            cin >> a >> j;
            con[a].push_back(j);
            ++deg_in[j];
        }
        
        //
        // 找出第一個度爲0的頂點
        //
        queue<int> que;
        vector<int> ans;
        for(int i=1; i<=n; ++i) {
            if (!deg_in[i]) {
                que.push(i);
            }
        }
        
        //
        // 求排序中其它n-1個頂點
        //
        while(!que.empty()) {
            int u = que.front();
            que.pop();
            
            ans.push_back(u);
            
            for(size_t i=0; i<con[u].size(); ++i) {
                int t = con[u][i];
                if (--deg_in[t] == 0) {
                    que.push(t);
                }
            }
        }
        
        for(size_t i=0; i<ans.size(); ++i) {
            cout << ans[i] << (i==ans.size()-1 ? "" : " ");
        }
        cout << endl;
    }
    
    return 0;
}