loj548 「LibreOJ β Round #7」某少女附中的體育課

這道題好神啊！！！

發現這題就是定義了一種新的卷積，而後作k+1次卷積。

這裏咱們就考慮構造一個變換T，使得$T(a) \cdot T(b) =T(a∘b)$，這裏是讓向量右乘這個轉移矩陣。

因而咱們能夠獲得

$$\sum_{j=0}^{m-1}{T_{j,i}  \sum{[k ∘ l =j] a_{k} b_{l}}  }   = (\sum_{j=0}^{m-1}{T_{j,i}a_{j}}) \cdot  (\sum_{j=0}^{m-1}{T_{j,i}b_{j}})$$

$$\sum{T_{k∘l,i}{a_{k}b_{l}}}= \sum{T_{k,i}T_{l,i}a_{k} b_{l}}$$

設x爲T的某一列向量，這個變換知足的條件就是$x_{j}x_{k}=x_{j∘k}$

又由於循環律，設$c_{i}$爲$i$的週期長度，咱們發現$x_{i^{c_{i}}}=x_{i}^{c_{i}}=x_{i}$，因此$x_{i}=w_{c_{i}}^{k} or 0$。

以後咱們發現合法的狀況只有n種，考慮暴搜變換而後加上上面那個減枝就能夠了。

而後咱們就獲得了咱們要求的變換，而後就像fwt同樣每一維依次進行變換就能夠了。

正解依舊沒有看懂，個人理解就是按照$x^{0}$分紅若干個等價類，對於每一個等價類內dft構造出一個其中若干個變換，而後在將每一個小變換擴展所有，可是具體的怎麼dft以及如何擴展的我還不是特別明白，因此先挖個大坑吧。其實我以爲這種須要構造變換的題暴搜都是能夠碾壓正解的，由於暴搜加減枝的複雜度真的很優秀。

最後，LCA太神啦！

  1 #include <cstdio>
  2 #include <cstring>
  3 #include <iostream>
  4 #include <algorithm>
  5 #include <cmath>
  6 #define mod 232792561
  7 #define N 500500
  8 #define M 25
  9 using namespace std;
 10 int rt=71,n,m,all,f[N],tmp[N];
 11 int A[M][M],a[M],cnt[M],tot,w[M][M],C[M][M],D[M][M];
 12 long long K;
 13 int qp(int a,int b){
 14     int c=1;
 15     for(;b;b>>=1,a=1ll*a*a%mod)
 16         if(b&1)c=1ll*c*a%mod;
 17     return c;
 18 }
 19 void UPD(int &a,int b){
 20     a=(a+b>=mod)?(a+b-mod):(a+b);
 21 }
 22 bool can(int x){
 23     for(int i=0;i<=x;i++)
 24         for(int j=0;j<=x;j++)
 25             if(A[i][j]<=x&&1ll*a[i]*a[j]%mod!=a[A[i][j]])return 0;
 26     return 1;
 27 }
 28 void dfs(int x){
 29     if(tot==m)return ;
 30     if(x==m){
 31         bool flag=0;
 32         for(int i=0;i<m;i++)if(a[i])
 33             {flag=1;break;}
 34         if(!flag)return ;
 35         for(int i=0;i<m;i++)C[i][tot]=a[i];
 36         tot++;
 37         return ;
 38     }
 39     for(int i=0;i<=cnt[x];i++){
 40         a[x]=w[cnt[x]][i];
 41         if(can(x))dfs(x+1);
 42     }
 43 }
 44 void getni(){
 45     for(int i=0;i<m;i++)D[i][i]=1;
 46     for(int k=0;k<m;k++){
 47         if(!C[k][k]){
 48             for(int i=k+1;i<m;i++)if(C[i][k]){
 49                 for(int j=0;j<m;j++){
 50                     swap(C[k][j],C[i][j]);
 51                     swap(D[k][j],D[i][j]);
 52                 }
 53             }
 54         }
 55         int inv=qp(C[k][k],mod-2);
 56         for(int i=0;i<m;i++){
 57             C[k][i]=1ll*C[k][i]*inv%mod;
 58             D[k][i]=1ll*D[k][i]*inv%mod;
 59         }
 60         for(int i=0;i<m;i++)if(i!=k&&C[i][k]){
 61             int t=C[i][k];
 62             for(int j=0;j<m;j++){
 63                 UPD(C[i][j],mod-1ll*t*C[k][j]%mod);
 64                 UPD(D[i][j],mod-1ll*t*D[k][j]%mod);
 65             }
 66         }
 67     }
 68 }
 69 void dft(int n,int *f,int C[M][M]){
 70     if(n==1)return ;
 71     int l=n/m;
 72     for(int i=0;i<m;i++)dft(l,f+i*l,C);
 73     for(int i=0;i<n;i++)tmp[i]=0;
 74     for(int i=0;i<m;i++)
 75         for(int j=0;j<m;j++)
 76             for(int k=0;k<l;k++)
 77                 UPD(tmp[j*l+k],1ll*f[i*l+k]*C[i][j]%mod);
 78     for(int i=0;i<n;i++)
 79         f[i]=tmp[i];
 80 }
 81 int main(){
 82 //freopen("test.in","r",stdin);
 83     for(int i=1,now;i<=22;i++){
 84         w[i][0]=1;
 85         now=qp(rt,(mod-1)/i);
 86         for(int j=1;j<i;j++)
 87             w[i][j]=1ll*w[i][j-1]*now%mod;
 88     }
 89     scanf("%d%d%lld",&n,&m,&K);
 90     K=(K+1)%(mod-1);
 91     for(int i=0;i<m;i++)
 92         for(int j=0;j<m;j++)
 93             scanf("%d",&A[i][j]);
 94     for(int i=0;i<m;i++){
 95         int now=i;
 96         do{
 97             cnt[i]++;
 98             now=A[now][i];
 99         }while(now!=i);
100     }
101     dfs(0);
102     all=qp(m,n);
103     for(int i=0;i<all;i++)scanf("%d",&f[i]);
104     dft(all,f,C);
105     for(int i=0;i<all;i++)f[i]=qp(f[i],K);
106     getni();
107     dft(all,f,D);
108     for(int i=0;i<all;i++)printf("%d\n",f[i]);
109     return 0;
110 }

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