數據結構之二叉樹——二叉查找樹

定義

二叉查找樹（Binary Search Tree），又稱爲二叉搜索樹，二叉排序樹。它能夠是一棵空樹，若是不是空樹，則具備下列的性質：

• 非空左子樹的全部鍵值小於其根結點的鍵值
• 非空右子樹的全部鍵值大於其根結點的鍵值
• 左、右子樹都是二叉查找樹

好比下面兩棵樹，左邊的樹，由於5小於10，應該在10的左子樹上，所以不是二叉查找樹，右邊的樹則符合二叉查找樹的條件。

因爲二叉查找樹的特性， 中序遍歷二叉查找樹，獲得的就是一個升序的數列。以上圖右邊的樹爲例，它的中序遍歷則是：15 30 33 41 50

查找

二叉查找樹的查找過程，能夠分爲下面的步驟：

• 從根結點開始，若是樹爲空，則返回NULL
• 若是樹不爲空，則根結點的值與查找值X進行比較，並進行不一樣的處理
  • 若是X等於根結點的值，則查找完成，返回結點
  • 若是X小於根結點的值，則在左子樹中繼續查找
  • 若是X大於根結點的值，則在右子樹中繼續查找

下圖以查找33爲例，展現了查找的軌跡

根據上面的步驟，可使用遞歸寫出該算法

def find(root: TreeNode, key):
    if not root:
        return None
    if key == root.val:
        return root
    elif key < root.val:
        return find(root.left, key)
    else:
        return find(root.right, key)
複製代碼

固然，上面的遞歸算法中存在尾遞歸，通常的編譯器都會自動優化尾遞歸，咱們也能夠將代碼改成迭代的方式

def find(root: TreeNode, key):
    if not root:
        return None
    while root:
        if key == root.val:
            return root
        elif key < root.val:
            root = root.left
        else:
            root = root.right
複製代碼

能夠看的出來，算法的複雜度和樹的高度有關，每一次對比以後都會捨棄掉原來數據的一半，所以算法的時間複雜爲O(logn)

最小元素與最小元素

根據二叉查找樹的性質:

• 最小元素必定是在樹的最左分枝的端結點上
• 最大元素必定是在樹的最右分枝的端結點上

  

  算法的實現也比較清晰

def findMax(root: TreeNode):
    if root:
        while root.right:
            root = root.right
    return root


def findMin(root: TreeNode):
    if root:
        while root.left:
            root = root.left
    return root
複製代碼

插入結點

因爲二叉查找樹具備特定的性質，所以在插入新的結點的時候，也要保證二叉查找樹的性質，整個插入新結點的過程與查找的過程相似，

以插入35爲例，下圖展現了插入35的軌跡

以插入32爲例，下圖展現例插入32的軌跡

def insert(root: TreeNode, key):
    if not root:
        return TreeNode(key) # 若是是空樹，則新建根結點
    while root:
        if key == root.val:
            break # 若是插入的key已經存在，則直接退出循環
        elif key < root.val:
            # 小於向左子樹查找
            if not root.left:
                root.left = TreeNode(key)
            else:
                root = root.left
        else:
            # 大於向右子樹查找
            if not root.right:
                root.right = TreeNode(key)
            else:
                root = root.right
    return root
複製代碼

刪除結點

刪除操做比較複雜，要分狀況談論：

要刪除的結點爲葉子結點

這種狀況下，直接刪除。以下圖要刪除35結點

要刪除的結點只有一個孩子結點

這種狀況下，直接將要刪除結點的孩子結點，向上提，替代要刪除的結點，以下圖要刪除33結點

要刪除的結點有左、右兩棵子樹

這種狀況下，能夠有兩種方案：

• 取左子樹的最大元素替代要刪除結點
• 取右子樹的最小元素替代要刪除結點

若是要刪除41結點（使用左子樹最大元素代替）

左子樹的最大元素，依舊比右子樹的全部元素小，可是比其餘左子樹的元素大，所以它成爲新的根結點的時候，依舊能保持左子樹下的全部元素比根結點小，右子樹下的全部元素比根結點大。

若是要刪除41結點（使用右子樹最小元素代替）

右子樹的最小元素，依舊比左子樹的全部元素大，可是比其餘右子樹的元素小，成爲新的根結點，依舊能保持二叉查找樹的性質

綜合上面的狀況，代碼以下

def delete(root: TreeNode, key):
    if not root:
        return None
    if key < root.val:
        root.left = delete(root.left, key)
    elif key > root.val:
        root.right = delete(root.right, key)
    else:
        if root.left and root.right:
            # 有左右孩子
            leftMax = findMax(root.left)
            root.val = leftMax.val
            root.left = delete(root.left, leftMax.val)
        elif not root.left and not root.right:
            # 葉子結點
            root = None
        elif root.left:
            # 只有左孩子
            root = root.left
        elif root.right:
            # 只有右孩子
            root = root.right
    return root
複製代碼

在有左右孩子的狀況下，實際上只是把替代結點的值賦值給要刪除結點的值，真正刪除的是原來的替代結點，好比要刪除41結點，替代結點爲35，則把41改成35，而後刪除原來的35結點。

總結

二叉查找樹將數據按照順序組織好，排列成二叉樹結構，所以相關算法的複雜度基本取決於樹的高度，若是在構建二叉查找樹的時候，不注意樹的高度，容易構建成一棵斜樹，這樣二叉查找樹就失去了優點。

二叉查找樹有較高的插入和刪除效率，而且具有較高的查找效率，對組織動態數據比較友好。

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