Codeforces741D

dsu on tree

題目連接

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題目大意

一棵根爲 \(1\) 的樹，每條邊上有一個字符（\(a-v\)共\(22\)種）

一條簡單路徑被稱爲Dokhtar-kosh當且僅當路徑上的字符通過從新排序後能夠變成一個迴文串。

求每一個子樹中最長的Dokhtar-kosh路徑的長度。

解題思路

\(dsu\) \(on\) \(tree\) + 狀態壓縮

1.重排後構成迴文的條件爲：

​ ①.每一個字母出現的次數都爲偶數 ②.一個字母出現次數爲奇數，其他字母出現次數爲偶數

2.字母的範圍爲 a ~ z ， 把其轉換成二進制狀態（偶數爲0，奇數爲1）

​ 那麼知足迴文條件的二進制爲 ： 00...000 ， 00..001 ， 00..010 , ... , 10..000

3.維護一個從根節點到子節點u的前綴異或和數組 X

​ 那麼 u 到 v 的簡單路徑的字母重排後的二進制形式爲 X[u] ^ X[v]

4.節點 u 的答案有三種可能：

​ ①.它的兩個不一樣分支的節點構成的簡單路徑 ②.它的一個分支到它自己構成的簡單路徑 ③.它的子節點的 ans

因而就能夠定義 \(f_x\) 表示狀態爲 \(x\) 的節點的最大深度

那麼當根節點爲 \(rt\) 時 , 子節點 \(u\) 和 \(rt\) 產生的貢獻爲 ↓

if((x[u] ^ x[rt]) == 0) ma = max(ma , dep[u] - dep[rt]); 
rep(i , 0 , 21) if((x[u] ^ x[rt]) == (1LL << i)) ma = max(ma , dep[u] - dep[rt]);

子節點 \(u\) 和 \(rt\) 的其它分支的產生貢獻爲 ↓

if(f[x[u]]) ma = max(ma , f[x[u]] + dep[u] - 2 * dep[rt]);
rep(i , 0 , 21)
{
	int now = f[x[u] ^ (1LL << i)];
	if(now) ma = max(ma , dep[u] + now - 2 * dep[rt]);
}

\(rt\) 由它輕子兒子傳遞上來的貢獻爲 ↓

for(int i = head[rt] ; i ; i = edge[i].nex)
{
	int v = edge[i].to;
	if(v == far || v == hson[rt]) continue ;
	dsu(v , rt , 0);
	ans[rt] = max(ans[rt] , ans[v]);
}

\(rt\) 由它重兒子傳遞上來的貢獻爲 ↓

if(hson[rt]) dsu(hson[rt] , rt , 1) , ans[rt] = max(ans[rt] , ans[hson[rt]]) , HH = hson[rt];
if(f[x[rt]]) ma = max(ma , f[x[rt]] - dep[rt]);
rep(i , 0 , 21) if(f[x[rt] ^ (1LL << i)]) ma = max(ma , f[x[rt] ^ (1LL << i)] - dep[rt]);

由於要計算不一樣分支的兩點產生的貢獻，因此須要先對一個分支統計完貢獻後，再添加它的信息

(事實上相同分支內的節點答案的在根節點爲 \(rt\) 的子節點的時候就已經算過了)

AC_Code

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,n) for (int i=a;i<=n;i++)
#define int long long
using namespace std;
const int N = 6e5 + 10;
struct Edge{
	int nex , to;
}edge[N << 1];
int head[N] , TOT;
void add_edge(int u , int v)
{
	edge[++ TOT].nex = head[u] ;
	edge[TOT].to = v;
	head[u] = TOT;
}
int hson[N] , HH , sz[N] , dep[N] , x[N];
int n , ma , a[N] , ans[N] , f[N * 20];
void dfs(int u , int far , int now)
{
	sz[u] = 1;
	dep[u] = dep[far] + 1;
	x[u] = now ^ a[u];
	for(int i = head[u] ; i ; i = edge[i].nex)
	{
		int v = edge[i].to;
		if(v == far) continue ;
		dfs(v , u , x[u]);
		sz[u] += sz[v];
		if(sz[v] > sz[hson[u]]) hson[u] = v;
	}
}
void calc(int u , int far , int rt)
{
	if(f[x[u]]) ma = max(ma , f[x[u]] + dep[u] - 2 * dep[rt]);
	if((x[u] ^ x[rt]) == 0) ma = max(ma , dep[u] - dep[rt]); 
	rep(i , 0 , 21)
	{
		if((x[u] ^ x[rt]) == (1LL << i)) ma = max(ma , dep[u] - dep[rt]);
		int now = f[x[u] ^ (1LL << i)];
		if(now) ma = max(ma , dep[u] + now - 2 * dep[rt]);
	}
	for(int i = head[u] ; i ; i = edge[i].nex)
	{
		int v = edge[i].to;
		if(v == far || v == HH) continue ;
		calc(v , u , rt);
	}
}
void change(int u , int far , int val)
{
	if(val == 1) f[x[u]] = max(dep[u] , f[x[u]]);
	else f[x[u]] = 0; 
	for(int i = head[u] ; i ; i = edge[i].nex)
	{
		int v = edge[i].to;
		if(v == far || v == HH) continue ;
		change(v , u , val);
	}
}
void dsu(int u , int far , int op)
{
	for(int i = head[u] ; i ; i = edge[i].nex)
	{
		int v = edge[i].to;
		if(v == far || v == hson[u]) continue ;
		dsu(v , u , 0);
		ans[u] = max(ans[u] , ans[v]);
	}
	if(hson[u]) dsu(hson[u] , u , 1) , HH = hson[u] , ans[u] = max(ans[u] , ans[hson[u]]);
	if(f[x[u]]) ma = max(ma , f[x[u]] - dep[u]);
	rep(i , 0 , 21) 
	{
		if(f[x[u] ^ (1LL << i)]) ma = max(ma , f[x[u] ^ (1LL << i)] - dep[u]);
	} 
	for(int i = head[u] ; i ; i = edge[i].nex)
	{
		int v = edge[i].to;
		if(v == far || v == hson[u]) continue ;
		calc(v , u , u);
		change(v , u , 1);
	}
	ans[u] = max(ans[u] , ma);
	f[x[u]] = max(f[x[u]] , dep[u]); 
	HH = 0;
	if(!op) 
	{
		ma = 0;
		change(u , far , -1);
	}
}
signed main()
{
	cin >> n;
	rep(i , 2 , n)
	{
		int x ; char op;
		cin >> x >> op;
		add_edge(i , x) , add_edge(x , i);
		a[i] = (1LL << (int)(op - 'a')); 
	}
	dfs(1 , 0 , 0);
	dsu(1 , 0 , 0);
	rep(i , 1 , n) cout << ans[i] << " \n"[i == n]; 
	return 0;
}