前言
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你好，我是彤哥，一個天天爬二十六層樓還不忘讀源碼的硬核男人。算法
前面幾節，咱們一塊兒學習了算法的複雜度如何分析，並從最壞、平均、最好以及不能使用最壞狀況全方位無死角的剖析了算法的複雜度，在咱們表示複雜度的時候，一般使用大O來表示。數組
可是，在其餘書籍中，你可能還見過Θ、Ω、o、ω等符號。數據結構
那麼，這些符號又是什麼意思呢？架構
本節，咱們就來解決這個問題。函數
讀音
咱們先來糾正一波讀音：學習
- O，/əʊ/，大Oh
- o，/əʊ/，小oh
- Θ，/ˈθiːtə/，theta
- Ω，/oʊˈmeɡə/，大Omega
- ω，/oʊˈmeɡə/，小omega
是否是跟老師教得不太同樣^^url
數學解釋
Θ
Θ定義了一種精確的漸近行爲（exact asymptotic behavior），怎麼說呢？spa
用函數來表示：.net
對於f(n)，存在正數n0、c一、c2，使得當 n>=n0 時，始終存在 0 <= c1*g(n) <= f(n) <= c2*g(n)，則咱們能夠用 f(n)=Θ(g(n))表示。
用圖來表示：
Θ同時定義了上界和下界，f(n)位於上界和下界之間，且包含等號。
好比說，f(n) = 2n^2+3n+1 = Θ(n^2)，此時，g(n)就是用f(n)去掉低階項和常數項得來的，由於確定存在某個正數n0、c一、c2，使得 0 <= c1*n^2 <= 2n^2+3n+1 <= c2*n^2，固然，你說g(n)是2*n^2也沒問題，因此，g(n)實際上知足這個條件的一組函數。
好了，若是Θ你能理解了，下面四個就好理解了。
O
O定義了算法的上界。
用函數來表示：
對於f(n)，存在正數n0、c，使得當 n>=n0 時，始終存在 0 <= f(n) <= c*g(n)，則咱們能夠用 f(n)=O(g(n))表示。
用圖來表示：
O只定義上界，只要f(n)不大於c*g(n)，就能夠說 f(n)=O(g(n))。
好比說，對於插入排序，咱們說它的時間複雜度是O(n^2)，可是，若是用Θ來表示，則必須分紅兩條：
- 最壞的狀況下，它的時間複雜度爲Θ(n^2)；
- 最好的狀況下，它的時間複雜度爲Θ(n)。
這裏的n^2只是g(n)這一組函數中最小的上界，固然，g(n)也能夠等於n^3。
不過，咱們通常說複雜度都是指的最小的上界，好比，這裏插入排序的時間複雜度若是說是O(n^3)，從理論上來講，也沒問題，只是不符合約定罷了。
插入排序最好的狀況就是數組自己就是有序的。
o
o定義的也是算法的上界，不過它不包含等於，是一種不精確的上界，或者稱做鬆上界（某些書籍翻譯爲非緊上界）。
用函數來表示：
對於f(n)，存在正數n0、c，使得當 n>n0 時，始終存在 0 <= f(n) < c*g(n)，則咱們能夠用 f(n)=o(g(n))表示。
用圖來表示：
o表示僅僅是大O去掉等於的狀況，其餘行爲與大O如出一轍。
Ω
Ω定義了算法的下界，與O正好相反。
用函數來表示：
對於f(n)，存在正數n0、c，使得當 n>=n0 時，始終存在 0 <= c*g(n) <= f(n)，則咱們能夠用 f(n)=Ω(g(n))表示。
用圖來表示：
Ω只定義下界，只要f(n)不小於c*g(n)，就能夠說 f(n)=Ω(g(n))。
好比，對於插入排序，咱們能夠說它的時間複雜度爲Ω(n)，不過，這一般沒有什麼意義，由於插入排序在最好的狀況下不多，基本都是在最壞狀況或者平均狀況。
ω
ω一樣定義的是下界，只不過不包含等於，是一種不精確的下界，或者稱做松下界（某些書籍翻譯爲非緊下界）。
用函數來表示：
對於f(n)，存在正數n0、c，使得當 n>n0 時，始終存在 0 <= c*g(n) < f(n)，則咱們能夠用 f(n)=ω(g(n))表示。
用圖來表示：
ω表示僅僅是大Ω去掉等於的狀況，其餘行爲與大Ω如出一轍。
通俗理解
| 符號 | 含義 | 通俗理解 |
|---|---|---|
| Θ | 精確的漸近行爲 | 至關於「=」 |
| O | 上界 | 至關於「<=」 |
| o | 鬆上界 | 至關於「<」 |
| Ω | 下界 | 至關於「>=」 |
| ω | 松下界 | 至關於「>」 |
小結
爲了幫助同窗們快速查閱英文資料，彤哥特意把這幾節涉及到的英語單詞彙總了一下：
| 漢語 | 英文 |
|---|---|
| 複雜度 | complexity |
| 時間複雜度 | time complexity |
| 空間複雜度 | space complexity |
| 漸近分析 | asymptotic analysis |
| 最壞狀況 | the worst case |
| 最好狀況 | the best case |
| 平均狀況 | the average case |
| 精確的漸近行爲 | exact asymptotic behavior |
| 低階項 | low order terms |
| 常數項（前置常數） | leading constants |
| 鬆上界 | loose upper-bound |
後記
本節，咱們分別從讀音、數學、通俗理解等三個方面闡述了Θ、O、o、Ω、ω的含義，並在最後給出了這幾節涉及到的術語對應的英文，有了這些英文，你也能夠快速地查閱這方面的資料。
不過，在咱們平時與人交流的過程當中，你們仍是習慣於使用大O表示法，一來它表示最壞狀況，最壞狀況一般能夠直接表明算法的複雜度，二來它比較好書寫。
因此，咱們只須要記住大O就能夠了，只不過在別人提到Θ、Ω、ω咱們知道是什麼含義就能夠了。
前面幾節講了這麼多，其實，仍是隻涉及了很簡單的算法複雜度。
那麼，常見的算法複雜度有哪些呢？
下一節，咱們接着聊。
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