斯坦納樹小結

斯坦納樹

網上關於這玩意兒的資料不是不少

度孃的定義

斯坦納樹問題是組合優化問題，與最小生成樹類似，是最短網絡的一種。

最小生成樹是在給定的點集和邊中尋求最短網絡使全部點連通。

而最小斯坦納樹容許在給定點外增長額外的點，使生成的最短網絡開銷最小。

我我的認爲這玩意兒應該是某一類沒有多項式解法的最小生成樹問題，而後能夠用狀壓DP求解

直接從一道題目入手

 

 

[WC2008]遊覽計劃

連接

這應該算是斯坦納樹的板子題了

咱們令$f[i][sta]$表示$i$號節點，與其餘節點的聯通性爲$sta$時的最小代價，這裏的$sta$是一個二進制數，在它二進制下的每一位中，$0$表示不連通，$1$表示聯通

那麼轉移的時候會有兩種狀況

• 由子集轉移而來

方程爲$$f[i][sta] = \min_{s \in sta}\{f[i][s] + f[i][\complement_{sta} s] - val[i]\}$$

後面的減是防止加劇

這裏在枚舉子集的時候有一個技巧

 for(int s = sta; s; s = (s - 1) & sta) 

這樣能夠枚舉出sta的全部子集

• 由不含該節點的狀態轉移而來

 轉移方程爲

其中$i$爲新加入的節點

$$f[i][j] = \min\{f[k][j] + val[i]\}$$

你們看到這個方程有沒有一種很熟悉的感受？

是否是很像三角形不等式？

所以，咱們能夠用SPFA進行這種轉移

 

完整代碼

// luogu-judger-enable-o2
// luogu-judger-enable-o2
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
const int limit = 1050;
const int INF = 1e9;
inline int read() {
    char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9') {x = x * 10 + c - '0'; c = getchar();}
    return x * f;
}
#define MP(i,j) make_pair(i,j)
#define se second
#define fi first
#define Pair pair<int,int>
int N, M, tot = 0;
int a[12][12], f[12][12][limit];
int xx[5] = {-1, +1, 0, 0};
int yy[5] = {0, 0, -1, +1};
int vis[12][12];
struct PRE {
    int x, y, S;
}Pre[12][12][limit];
queue<Pair>q;
void SPFA(int cur) {
    while(q.size() != 0) {
        Pair p = q.front();q.pop();
        vis[p.fi][p.se] = 0;
        for(int i = 0; i <4; i++) {
            int wx = p.fi + xx[i], wy = p.se + yy[i];
            if(wx < 1 || wx > N || wy < 1 || wy > M) continue;
            if(f[wx][wy][cur] > f[p.fi][p.se][cur] + a[wx][wy]) {
                f[wx][wy][cur] = f[p.fi][p.se][cur] + a[wx][wy];
                Pre[wx][wy][cur] = (PRE){p.fi, p.se, cur};
                if(!vis[wx][wy])
                    vis[wx][wy] = 1, q.push(MP(wx,wy));
            }
        }
    }
}
void dfs(int x, int y, int now) {
    vis[x][y] = 1;
    PRE tmp = Pre[x][y][now];
    if(tmp.x == 0 && tmp.y == 0) return;
    dfs(tmp.x, tmp.y, tmp.S);
    if(tmp.x == x && tmp.y == y) dfs(tmp.x, tmp.y, now - tmp.S);
}
int main() {
    //freopen("a.in", "r", stdin);
    N = read(); M = read();
    memset(f, 0x3f, sizeof(f));
    for(int i = 1; i <= N; i++)
        for(int j = 1; j <= M; j++) {
            a[i][j] = read();
            if(a[i][j] == 0)
                f[i][j][1 << tot] = 0, tot++;
        }
    int limit = (1 << tot) - 1;
    for(int sta = 0; sta <= limit; sta++) {
        for(int i = 1; i<= N; i++)
            for(int j = 1; j <= M;j++) {
                for(int s = sta; s; s = (s - 1) & sta) {
                    if(f[i][j][s] + f[i][j][sta - s] - a[i][j] < f[i][j][sta])
                        f[i][j][sta] = f[i][j][s] + f[i][j][sta - s] - a[i][j],
                        Pre[i][j][sta] = (PRE){i,j,s};
                }
                if(f[i][j][sta] < INF) q.push(MP(i,j)), vis[i][j] = 1;
            }
        SPFA(sta);
    }
    int ansx, ansy, flag = 0;
    for(int i = 1; i <= N && !flag; i++)
        for(int j = 1; j <= M; j++)
            if(!a[i][j]) 
                {ansx = i, ansy = j; flag = 1; break;}
    printf("%d\n",f[ansx][ansy][limit]); 
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    dfs(ansx, ansy, limit);
    for(int i = 1; i <= N; i++, puts("")) {
        for(int j = 1; j <= M; j++) {
            if(a[i][j] == 0) putchar('x');
            else if(vis[i][j]) putchar('o');
            else putchar('_');            
        } 
    } 
    return 0;
}