0. 前言
你們好，我是多選參數的程序鍋，一個正在」搗鼓「操做系統、學數據結構和算法以及 Java 的硬核菜雞。node
二分查找你們估計都會，可是二分查找的變體你們會嗎？我相信大佬都是會的，可是我這個菜雞就是不會了。還記得，在學習二分查找變體的時候，我像發現了新大陸通常，很開森，很開森，很開森。git
爲了整個知識的相對完整，下面仍是從最基本的二分查找開始講解，以後講解二分查找的變體，這個變體在刷 Leetcode 的有些題目的時候也會用到。最後對二分查找這種算法進行總結。另外，這個數據結構和算法系列的代碼都在 github 倉庫中能夠找到：https://github.com/DawnGuoDev/algos 。github
1. 二分查找及其變體
二分查找針對的是一個有序的數據集合（必須是有序），查找思想有點相似分治思想。每次都經過跟區間的中間元素對比，將待查找的區間縮小爲以前的一半（或者說剔除了另外一半數據），直到找到要查找的元素，或者區間被縮小爲 0。web
因爲通過一次查找，會剔除一半數據而剩下另外一半數據，所以通過 k 次查找以後，剩下的數據個數爲 ，整個二分查找當剩下一個元素的時候中止，所以須要通過 次查找，時間複雜度也就是 。算法
1.1. 最基礎的實現
這邊先講解不存在重複元素的有序數組中，查找值等於給定值的元素的狀況（PS：全文的講解都以數據是從小到大排列爲前提）。數組
1.1.1. 非遞歸的方式
public int bsearch(int[] array, int len, int value) {
int low = 0;
int high = len - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (array[mid] == value) {
return mid;
} else if (array[mid] < value) {
low = mid + 1;
} else {
high = mid - 1;
}
}
return -1;
}
在實現非遞歸算法時，須要注意如下幾個關鍵點：微信
-
循環的條件是 low <= high，而不是low < high。由於可能 low 和 high 重合的時候正是須要查詢的值，好比 1,2,3 那麼假如我要查詢 3 這個值的位置時，是在 low 等於 high 的時候才查詢到的。 -
mid = (low+high)/2這種寫法不太嚴謹，由於 low 和 high 比較大的時候，可能就會溢出。因此，改進的方法是mid = low +(high-low)/2。固然爲了追求性能的極致，那麼能夠將這裏的除以 2 改成移位操做。由於移位操做比除法運算來講，計算機處理前者會更快。最終爲mid = low + ((high-low)>>1)。須要注意的是，考慮到移位操做和加法的優先級，這邊的括號必需要這樣。 -
low 和 high 值的更新，這邊必定要記得 +1 和 -1，不然的話可能會進入死循環。假如沒有+1 或者 -1 的操做，那麼 1,2,3 我要查詢的是 3 這個值，第一步 low=0， high=2；第二步 low=1，high=2；第三步仍是 low=1，high=2。
1.1.2. 遞歸的方式
public int bsearchInternally(int[] array, int low, int high, int value) {
if (low > high) {
return -1;
}
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (array[mid] == value) {
return mid;
} else if (array[mid] < value) {
return bsearchInternally(array, mid + 1, high, value);
} else {
return bsearchInternally(array, low, mid - 1, value);
}
}
這邊的注意點與非遞歸的注意點是一一對應的，遞歸方式注意的是循環的條件，非遞歸方式注意的則是遞歸終止的條件，這邊須要 low>high 而不是 low >= high，理由是同樣的，本身舉例看一下。其餘兩個注意事項是同樣的。數據結構
★回憶一下遞歸方式編寫代碼的技巧：1.是先寫出遞歸式；2.肯定終止條件；3.翻譯成代碼。app
」
1.2. 查找第一個等於給定值的元素所在的 index
接下去講解二分查找的變體，主要考慮幾種典型的狀況。首先，將不存在重複元素的有序數組進行通常化，即有序數組集合中存在重複的數據。那麼咱們該如何找到第一個等於給定值的數據的 index 呢？數據結構和算法
假如按照最簡單的方式來實現查找的話（即上述的實現），那麼獲得的結果將不必定正確。好比下面這個存在重複數據的有序數組集合。假設要查找的數據是 8 ，那麼先拿 8 和第 4 個數據 6 進行比較，發現 8 比 6 大，因而在下標 5-9 之間尋找。結果發現第 7 個數據 8 正好是要查找的數據，而後將 index 7 返回，可是實際上第一個 8 的 index 應該是 5。
1 3 4 5 6 8 8 8 11 18
所以，對於這個變形問題，咱們須要改造一下以前的代碼。改造以後的代碼以下所示：
public int bsearchFirstEqual(int[] array, int len, int value) {
int low = 0;
int high = len - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (array[mid] < value) {
low = mid + 1;
} else if (array[mid] > value) {
high = mid - 1;
} else {
if (mid == 0 || array[mid - 1] != value) {
return mid;
}
high = mid - 1;
}
}
return -1;
}
這邊稍微解析一下代碼。a[mid]跟要查找的 value 的大小關係有三種狀況：大於、小於、等於。對於 a[mid] >value的狀況，說明等於狀況位於 low-mid 之間，因此 high = mid-1。對於 a[mid]<value 的狀況，說明等於狀況位於 mid-high 之間，因此 low = mid+1。對於 a[mid]=value的狀況，咱們須要確保 mid 這個 index 是否是第一個等於 value 的 index。所以，先判斷 mid 等不等於 0，假如等於的話，那麼確定是第一個了；以後判斷 mid-1 位置的元素等不等於 value，若是不等於 value，那麼說明 mid 是第一個等於 value 的 index。假如 mid-1 位置的元素等於 value，那麼說明第一個等於 value 在 mid 以前，因此 high=mid-1。
1.3. 查找最後一個等於給定值的元素所在的 index
前面是查找第一個值等於給定值的元素，如今將問題稍微改一下，查找最後一個值等於定值的元素的 index。相應的實現代碼其實和前面的相似。
public int bsearchLastEqual(int[] array, int len, int value) {
int low = 0;
int high = len - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (array[mid] < value) {
low = mid + 1;
} else if (array[mid] > value) {
high = mid - 1;
} else {
if (mid == len -1 || array[mid + 1] != value) {
return mid;
}
low = mid + 1;
}
}
return -1;
}
這裏咱們就不分析了，分析思路跟上面的那種狀況相似。
1.4. 查找第一個大於等於給定值的元素所在的 index
看完查找值相等的狀況以後，接下去咱們查找值不相等的狀況。在有序數組中（可含重複元素），查找第一個大於等於給定值的元素的 index。好比針對序列：三、四、六、七、10，查找第一個大於等於 5 的元素，那就是 6 ，index 是 2。
public int bsearchFirstMore(int[] array, int len, int value) {
int low = 0;
int high = len - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (array[mid] < value) {
low = mid + 1;
} else {
if (mid == 0 || array[mid - 1] < value) {
return mid;
}
high = mid - 1;
}
}
return -1;
}
若是 mid 位置所在的元素小於 value，那麼第一個大於等於 value 的值的 index 是在 [mid+1, high] 之間，因此 low=mid+1。若是 mid 位置所在的元素已經大於 value，那麼須要判斷 mid 是否是第一個大於等於 value 的 index。假如 mid == 0 ，那麼確定是第一個了；或者 mid 前面的那個元素小於 value，那麼 mid 也是第一個大於等於 value 的 index。若是兩個條件都不知足，那麼第一個大於等於 value 的 index，是在 [low, mid-1] 之間，所以將 high 進行更新。
1.5. 查找最後一個小於等於給定值的元素所在的 index
如今將問題變成查找最後一個小於等於給定值的元素的 index。好比針對序列：三、五、六、八、九、10，最後一個小於等於給定值 7 的元素是 6， index 是 2 。代碼的實現思路與上述狀況類似。
public int bsearchLastLess(int[] array, int len, int value) {
int low = 0;
int high = len - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (array[mid] > value) {
high = mid - 1;
} else {
if (mid == len - 1 || array[mid + 1] > value) {
return mid;
}
low = mid + 1;
}
}
return -1;
}
這裏咱們就不分析了，分析思路跟上面的那種狀況相似。
2. 總結
2.1. 二分查找的侷限性
雖然二分查找的時間複雜度是 O(logn)，查找效率極高，可是二分查找卻不是完美的，這種查找方法存在一些侷限性。
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二分查找依賴的是順序表結構，簡單點說就是數組。
二分查找可否依賴其餘數據結構呢？好比鏈表。答案是不能夠的，主要緣由是二分查找算法是按照下標隨機訪問元素的，好比咱們訪問 mid 這個位置的數據就是經過下標隨機訪問的，這個時間複雜度是 O(1)。假如使用鏈表方式的話，須要遍歷到 mid 這個位置，那麼時間複雜度爲 O(n)。因此，若是數據使用鏈表存儲，二分查找的時間複雜度會變得高。
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二分查找針對的是有序數據，在動態變化的數據集合中不適用
二分查找的時候要求查找的數據序列必須是有序的。若是數據不是有序的，那麼須要先排序才能查找。在使用時間複雜度爲 O(nlogn)的排序算法的狀況下。若是一組靜態的數據，沒有頻繁地插入、刪除等操做，二分查找仍是能夠接受的。由於咱們能夠進行一次排序，屢次二分查找。這樣排序的成本就會被均攤。可是，若是咱們的數據集合有頻繁的插入和刪除操做的話，要想二分查找。那麼每次插入、刪除以後都須要進行排序，從而反正數據序列的有序。這種狀況下，維護有序的時間成本時很高的。
綜上，二分查找只能用於插入、刪除操做不頻繁，一次排序屢次查找的狀況。針對動態變化的數據集合，二分查找將再也不適合。
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數據量過小不適合二分查找
要處理的數據量很小的話，徹底沒有必要用二分查找，順序遍歷就能夠了。好比要在 10 個有序的數組中查找一個元素，無論使用順序遍歷仍是二分查找，查找速度都查很少。可是這種狀況下有個例外，就是若是比較操做很是耗時的話，那麼也請用二分查找，由於雖然二者次數差很少，可是這種狀況下咱們是須要儘量減小比較的次數。顯然，二分查找的次數還會更少一點。
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數據量太大也不適合二分查找
二分查找的底層須要依賴數組這種數據結構，而數組這種數據結構要求內存空間的連續。假如數據量太大，好比有 1GB 大小的數據，若是使用數組來存儲，那麼就須要 1GB 的連續內存空間。因此當要查找的數據集合特別大的時候二分查找也會不太適合。
2.2. 二分查找的優點
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二分查找在內存使用上更節省
雖然大部分狀況下，用二分查找的方式能夠解決的問題，散列表、二叉樹均可以解決。可是，無論是散列表仍是二叉樹都須要額外的內存空間。而二分查找依賴的是數組，除了數據自己以外，不須要存儲額外的其餘信息。因此當二分查找須要 100MB 內存的狀況下，散列表或二叉樹須要的內存空間會更大（不止 100MB）。顯然，在這三種方式中二分查找是最省內存空間的。
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二分查找更適合用在「近似」查找問題。
在這類問題上，二分查找的優點更加明顯，就好比這幾種變體。而查找「等於給定值」的問題，更適合散列表或二叉樹。這種變體的二分查找算法比較難寫，尤爲是細節上若是處理很差容易產生BUG，這些出錯的細節有：終止條件、區間上下界更新方法、返回值選擇。
後臺回覆【AI資料】和【學習資料】便可獲取優質的學習資料
另外附上整個《拿下數據結構與算法》系列準備完成的思惟導圖（不含詳細內容）
不甘於「本該如此」，「多選參數 」值得關注
本文分享自微信公衆號 - 多選參數（zhouxintalk）。
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