查找——二分查找

　　二分查找也叫作折半查找，查找的對象是已經排好序的序列（通常默認爲升序）。

　　讓咱們來看看原理：顧名思義，就是先將中間數和目標key比較，若是相等則返回其索引，不然把序列分紅兩半，根據大小判斷所查找的key在哪一半中，對這一半序列再重複上述步驟，直到找到目標key或查找完序列。

通常的二分查找

　　被查找的序列arr中無重複的元素，在此序列中查找目標數target。

　　被查找的序列示例：int[] arr1 = { 1, 2, 4, 5, 8, 13, 19, 20, 33, 38, 40, 48, 88 }。

public static int binarySearch(int[] arr, int target) { if (arr == null || arr.length == 0) { return -1; }
　　 // 肯定別查找的區間 int left = 0; int right = arr.length - 1;
　　 // 開始查找【left，right】區間 while (left <= right) {
　　　　　// 找到中間數的索引 int mid = (left + right) / 2;
　　　　　// 判斷 中間數 和 target 的大小 if (arr[mid] == target) {　　　　　// 若相等，則返回其索引 return mid; } else if (arr[mid] > target) {　 // 若大於，肯定前半段區間 right = mid - 1; } else if (arr[mid] < target) {　 // 若小於，肯定後半段區間 left = mid + 1; } }
　　 // 若是未查找到，則返回-1 return -1; }

　　第一步，初始化原序列，left指向索引爲0的位置，即此區間的第一個元素，right指向索引爲arr.length-1的位置，即此區間最後一個元素，也就是說這個區間是閉區間，[left，right]區間內的元素都是被查的元素。

　　第二步，找到中間元素的索引mid，判斷中間元數和目標數target的值是否相等：

• 若中間數等於target，說明已經找到了目標數了，查找成功，直接返回其索引mid；
• 若中間數小於target，說明要查找的數在後半段，即[mid+1，right]，因此將mid+1值賦給left，肯定下次要查找的區間，重複第二步；
• 若中間數大於target，說明要查找的數在前半段，即[left，mid-1]，因此將mid-1值賦給right，肯定下次要查找的區間，重複第二步；

 　　第三步，當查找到left==right時，是最後一個區間，即[left，left],此區間只有一個元素，即下標爲left的元素。若是此元素是目標數則查找成功，返回其索引；若是不是，會從新肯定left或right的值，使得left>right，查找完畢退出循環，返回-1。

有重複元素的二分查找

　　被查找的序列arr中有重複的元素，在此序列中查找目標數target。

　　被查找的序列示例：int[] arr1 = { 1, 2, 5, 5, 5, 13, 19, 33, 33, 38, 40, 48, 48 }。

1.尋找左側邊界的二分查找

　　顧名思義，就是當序列中被查找的數有多個時，找到最左邊的那個數的位置，而後返回其索引。固然，若是被查找的數只有一個，找到並返回其索引就行了，不然返回-1。

public static int binarySearch1(int[] arr, int target) { if (arr == null || arr.length == 0) { return -1; } int left = 0; int right = arr.length;               // 右側未閉合
    while (left < right) {                // left==right時，退出循環
        int mid = (left + right) / 2; if (arr[mid] == target) {         // 找到時，right向右側靠攏，記住此位置
            right = mid; }else if (arr[mid] < target) {    // 小於時，左側閉合，向右靠攏
            left = mid + 1; }else if (arr[mid] > target) {    // 大於時，右側不閉合，向左靠攏
            right = mid; } } if (left == arr.length) {            // 若是target大於全部元素，返回-1
        return -1; } return arr[left] == target ? left : -1; }

 　　大框架並無發生變化，改變的地方須要說一下：

　　首先，while的條件變了， left <= righ 變成了 left < right ，當left == right時退出循環，爲何要變呢？由於咱們此次所查找的區間是左閉右開的，[left，right)，當left增加到left == right時，所查找的區間已查找完畢，這時咱們就要退出循環了。爲何要這樣設計？此中妙處，請往下看。

　　 if (left == arr.length) { return -1; } 這段代碼是幹啥的？這是當咱們要查找的數大於此序列的全部數時，left會一直增長到left == right，而此時的right並未改變,就是arr.length。這段代碼是爲了處理這這種狀況。

　　當中間數不是target時，調整下次要查詢的區間的範圍，你們應該能夠理解，由於這是左閉右開的區間。

　　當中間數等於target時， right = mid; ，怎麼回事？找到 target 時不要當即返回，而是縮小「搜索區間」的上界 right，在區間 [left, mid) 中繼續搜索，即不斷向左收縮，達到鎖定左側邊界的目的。固然，若是此時right鎖定的就是左邊界，left會一直向右收縮，直到left == right。

　　最後的 return arr[left] == target ? left : -1; 是爲了應對target小於全部數時的狀況和是否找到target時的狀況。

 2.尋找右側邊界的二分搜索

　　與上面的相反，就是當序列中被查找的數有多個時，找到最右邊的那個數的位置，而後返回其索引。固然，若是被查找的數只有一個，找到並返回其索引就行了，不然返回-1。

public static int binarySearch2(int[] arr, int target) { if (arr == null || arr.length == 0) { return -1; } int left = 0; int right = arr.length; while (left < right) { int mid = (left + right) / 2; if (arr[mid] == target) { left = mid+1; }else if (arr[mid] < target) { left = mid+1; }else if (arr[mid] > target) { right = mid; } } if (left == 0) { return -1; } return arr[left-1] == target ? (left-1) : -1; }

　　當咱們查找左邊界的時候，咱們是用right指針來鎖定左側邊界的；同理，當咱們查找右邊界的時候，咱們用left來鎖定右邊界，但有一點小區別，由於查找區間是左閉右開的，left指向的元素在查找範圍內，所以咱們用left的前一個元素來鎖定右邊界。

　　這就是爲何當中間元素等於target時，咱們要 left = mid+1; 呢，left的前一個元素最終會鎖定的右邊界，這也就對應了後面的return語句中爲何是left - 1，由於left - 1指向的最右邊的target元素。

　　 if (left == 0) { return -1; } 這段代碼是爲了應對當target小於全部元素時的狀況，由於後面有left-1，沒有這條語句的話會形成索引越界的狀況。

總結一下

　　二分查找有一個實現框架：

public static int binarySearch(int[] arr, int target) { if (arr == null || arr.length == 0) { return -1; } int left = 0; int right = --------; while (--------) { int mid = (left + right) / 2; if (arr[mid] == target) { --------; } else if (arr[mid] > target) { right = --------; } else if (arr[mid] < target) { left = --------; } } return --------; }

　　當咱們實現時根據題目的具體要求，來調整框架中所填部分的值。

　　通常的二分查找最爲簡單；當有重複數字時，查找相對複雜一些，本文中只提到了查找左右邊界的狀況，但日常咱們還會遇到一些變種的二分查找狀況，好比：查找最後一個等於或者小於key的元素、查找最後一個小於key的元素、查找第一個等於或者大於key的元素、查找第一個大於key的元素等。雖然變化不少，但萬變不離其宗！讀者只要理解查找的原理和每一步的過程，將其融會貫通，即可攻無不克。