卷積運算

時間 2021-01-22

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轉自：https://www.zhihu.com/question/22298352算法

從數學上講，卷積就是一種運算。函數

某種運算，能被定義出來，至少有如下特徵：學習

首先是抽象的、符號化的
其次，在生活、科研中，有着普遍的做用

好比加法：3d

，是抽象的，自己只是一個數學符號
在現實中，有很是多的意義，好比增長、合成、旋轉等等

卷積，是咱們學習高等數學以後，新接觸的一種運算，由於涉及到積分、級數，因此看起來以爲很複雜。blog

1 卷積的定義ci

咱們稱爲的卷積get

其連續的定義爲：數學

$\displaystyle (f*g)(n)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(n-\tau )d\tau$

其離散的定義爲：io

$\displaystyle (f*g)(n)=\sum _{\tau =-\infty }^{\infty }{f(\tau )g(n-\tau )}$

這兩個式子有一個共同的特徵：圖像處理

這個特徵有什麼意義？

咱們令 $x=\tau ,y=n-\tau$ ，那麼就是下面這些直線：

若是遍歷這些直線，就比如，把毛巾沿着角捲起來：

此處受到荊哲：卷積爲何叫「卷」積？答案的啓發。

只看數學符號，卷積是抽象的，很差理解的，可是，咱們能夠經過現實中的意義，來習慣卷積這種運算，正如咱們小學的時候，學習加減乘除須要各類蘋果、糖果來幫助咱們習慣同樣。

咱們來看看現實中，這樣的定義有什麼意義。

2 離散卷積的例子：丟骰子

我有兩枚骰子：

把這兩枚骰子都拋出去：

求：

這裏問題的關鍵是，兩個骰子加起來要等於4，這正是卷積的應用場景。

咱們把骰子各個點數出現的機率表示出來：

那麼，兩枚骰子點數加起來爲4的狀況有：

所以，兩枚骰子點數加起來爲4的機率爲：

符合卷積的定義，把它寫成標準的形式就是：

$\displaystyle (f*g)(4)=\sum _{m=1}^{3}f(4-m)g(m)$

3 連續卷積的例子：作饅頭

樓下早點鋪子生意太好了，供不該求，就買了一臺機器，不斷的生產饅頭。

假設饅頭的生產速度是，那麼一天後生產出來的饅頭總量爲：

$\int _{0}^{24}f(t)dt$

饅頭生產出來以後，就會慢慢腐敗，假設腐敗函數爲，好比，10個饅頭，24小時會腐敗：

想一想就知道，第一個小時生產出來的饅頭，一天後會經歷24小時的腐敗，第二個小時生產出來的饅頭，一天後會經歷23小時的腐敗。

如此，咱們能夠知道，一天後，饅頭總共腐敗了：

$\int _{0}^{24}f(t)g(24-t)dt$

這就是連續的卷積。

4 圖像處理

4.1 原理

有這麼一副圖像，能夠看到，圖像上有不少噪點：

高頻信號，就好像平地聳立的山峯：

看起來很顯眼。

平滑這座山峯的辦法之一就是，把山峯刨掉一些土，填到山峯周圍去。用數學的話來講，就是把山峯周圍的高度平均一下。

平滑後獲得：

4.2 計算

卷積能夠幫助實現這個平滑算法。

有噪點的原圖，能夠把它轉爲一個矩陣：

而後用下面這個平均矩陣（說明下，原圖的處理實際上用的是正態分佈矩陣，這裏爲了簡單，就用了算術平均矩陣）來平滑圖像：

$g=\begin{bmatrix} \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} \\ \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} \\ \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} \end{bmatrix}$

記得剛纔說過的算法，把高頻信號與周圍的數值平均一下就能夠平滑山峯。

好比我要平滑 $a_{1,1}$ 點，就在矩陣中，取出 $a_{1,1}$ 點附近的點組成矩陣，和進行卷積計算後，再填回去：

要注意一點，爲了運用卷積，雖然和同維度，但下標有點不同：

我用一個動圖來講明下計算過程：

寫成卷積公式就是：

$\displaystyle (f*g)(1,1)=\sum _{k=0}^{2}\sum _{h=0}^{2}f(h,k)g(1-h,1-k)$

要求 $c_{4,5}$ ，同樣能夠套用上面的卷積公式。

這樣至關於實現了這個矩陣在原來圖像上的划動（準確來講，下面這幅圖把矩陣旋轉了 $180^\circ$ ）：

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