關於算法的時間複雜度O(f(n))

（一）算法時間複雜度定義:
　　在進行算法分析時，語句總的執行次數T(n)是關於問題規模n的函數，進而分析T(n)隨n的變化狀況並肯定T(n)的數量級。算法的時間複雜度，也就是算法的時間量度，記做：T(n)=O(f(n))。它表示隨問題規模n的增大，算法執行時間的增加率和f(n)的增加率相同，稱做算法的漸進時間複雜度，簡稱時間複雜度。其中f(n)是問題規模n的某個函數。

 

（二）分析一個算法的時間複雜度（推導大O階）：

1.用常數1取代運行時間中的全部加法常數。

2.在修改後的運行次數函數中，只保留最高階項。

3.若是最高階項存在且不是1，則去除與這個項相乘的常數。

獲得的結果就是大O階。

　(1)常數階，大O階記做O（1）。

1 int sum=0,n=100;   //執行一次
2 sum=(1+n)*n/2       //執行一次
3 printf("%d",sum);    //執行一次

 

這個算法運行次數函數是f(n)=3，該函數無最高階項，因此記做O(1)，而不是O(3)。

(2)線性階，分析循環結構的運行狀況。

(3)對數階

1 int count=1;
2 while (count<n)
3 {
4   count=count*2;  
5 }

因爲每次count乘以2以後，就距離n更近了一分。也就是說，有多少個2相乘後大於n，則會退出循環。由2的n次方等於n，獲得x=log2 n。因此這個循環時間複雜度O(logn)。

(4)平方階

1 int i,j;
2 for(i=0;i<n;i++)
3 {
4   for(j=i;j<n;j++)
5   /*時間複雜度爲O(1)的程序步驟序列*/        
6 }

因爲當i=0時，內循環執行了n次，當i=1時，執行了n-1次，……當i=n-1次，執行了1次。因此總的執行次數爲：

n+(n-1)+(n-2)+……+1=(n^2)/2+n/2

根據推導大O階的方法，第一條，沒有加法常數不予考慮。第二條，只保留最高項，所以保留(n^2)/2;第三條去除這個項相乘的常數，即1/2，最終這段代碼的時間複雜度爲O(n^2)。

咱們經常使用大O表示法表示時間複雜性，注意它是某一個算法的時間複雜性。大O表示只是說有上界，由定義若是f(n)=O(n)，那顯然成立f(n)=O(n^2)，它給你一個上界，但並非上確界，但人們在表示的時候通常都習慣表示前者。

此外，一個問題自己也有它的複雜性，若是某個算法的複雜性到達了這個問題複雜性的下界，那就稱這樣的算法是最佳算法。

「大O記法」：在這種描述中使用的基本參數是 n，即問題實例的規模，把複雜性或運行時間表達爲n的函數。這裏的「O」表示量級 (order)，好比說「二分檢索是 O(logn)的」,也就是說它須要「經過logn量級的步驟去檢索一個規模爲n的數組」記法 O ( f(n) )表示當 n增大時，運行時間至多將以正比於 f(n)的速度增加。

這種漸進估計對算法的理論分析和大體比較是很是有價值的，但在實踐中細節也可能形成差別。例如，一個低附加代價的O(n2)算法在n較小的狀況下可能比一個高附加代價的 O(nlogn)算法運行得更快。固然，隨着n足夠大之後，具備較慢上升函數的算法必然工做得更快。

O(1)

Temp=i;i=j;j=temp;                    

以上三條單個語句的頻度均爲1，該程序段的執行時間是一個與問題規模n無關的常數。算法的時間複雜度爲常數階，記做T(n)=O(1)。若是算法的執行時間不隨着問題規模n的增長而增加，即便算法中有上千條語句，其執行時間也不過是一個較大的常數。此類算法的時間複雜度是O(1)。

O(n^2)

2.1. 交換i和j的內容
     sum=0；                 （一次）
     for(i=1;i<=n;i++)       （n次 ）
        for(j=1;j<=n;j++) （n^2次 ）
         sum++；       （n^2次 ）
解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)

2.2.   
    for (i=1;i<n;i++)
    {
        y=y+1;         ①   
        for (j=0;j<=(2*n);j++)    
           x++;        ②      
    }         
解： 語句1的頻度是n-1
          語句2的頻度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1
          f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2
          該程序的時間複雜度T(n)=O(n^2).         

O(n)      
                                                      
2.3.
    a=0;
    b=1;                      ①
    for (i=1;i<=n;i++) ②
    {  
       s=a+b;　　　　③
       b=a;　　　　　④  
       a=s;　　　　　⑤
    }
解：語句1的頻度：2,        
           語句2的頻度： n,        
          語句3的頻度： n-1,        
          語句4的頻度：n-1,    
          語句5的頻度：n-1,                                  
          T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).
                                                                                                 
O(log2n )

2.4.
     i=1;       ①
    while (i<=n)
       i=i*2; ②
解： 語句1的頻度是1,  
          設語句2的頻度是f(n),   則：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n    
          取最大值f(n)= log2n,
          T(n)=O(log2n )

O(n^3)

2.5.
    for(i=0;i<n;i++)
    {  
       for(j=0;j<i;j++)  
       {
          for(k=0;k<j;k++)
             x=x+2;  
       }
    }
解：當i=m, j=k的時候,內層循環的次數爲k當i=m時, j 能夠取 0,1,...,m-1 , 因此這裏最內循環共進行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次因此,i從0取到n, 則循環共進行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6因此時間複雜度爲O(n^3).
                                  

咱們還應該區分算法的最壞狀況的行爲和指望行爲。如快速排序的最 壞狀況運行時間是 O(n^2)，但指望時間是 O(nlogn)。經過每次都仔細 地選擇基準值，咱們有可能把平方狀況 (即O(n^2)狀況)的機率減少到幾乎等於 0。在實際中，精心實現的快速排序通常都能以 (O(nlogn)時間運行。
下面是一些經常使用的記法：

訪問數組中的元素是常數時間操做，或說O(1)操做。

一個算法如 果能在每一個步驟去掉一半數據元素，如二分檢索，一般它就取 O(logn)時間。

用strcmp比較兩個具備n個字符的串須要O(n)時間。常規的矩陣乘算法是O(n^3)，由於算出每一個元素都須要將n對 元素相乘並加到一塊兒，全部元素的個數是n^2。指數時間算法一般來源於須要求出全部可能結果。例如，n個元 素的集合共有2n個子集,因此要求出全部子集的算法將是O(2n)的。指數算法通常說來是太複雜了，除非n的值很是小，由於，在 這個問題中增長一個元素就致使運行時間加倍。不幸的是，確實有許多問題 (如著名的「巡迴售貨員問題」 )，到目前爲止找到的算法都是指數的。若是咱們真的遇到這種狀況，一般應該用尋找近似最佳結果的算法替代之。