【原創】爲何KMP算法中主串指針不須要回退

關於KMP(Knuth-Morris-Pratt)算法出現的來龍去脈，其能夠解決的問題以及帶來的潛在效率提高，在書本中和網絡上能夠找到的資源實在是太多了，本文再也不贅述。

這篇文章的主要目的，是想結合本身實際總結和心得，從另一個角度，進一步解釋KMP算法匹配中主串的指針不須要回退的緣由。

背景

在以前學習KMP算法的過程當中，常常看到會以一些例子演示進行說明，好比下例，當前匹配進行到字符'e'處，失敗了。

a b a d e f g h i

a b a d x a

接下來，通常解釋都會繼續使用此類例子來講明，匹配能夠直接從當前主串'e'處開始，即主串的指針不須要回退，只須要模式串將指針進行移位到某其位置來繼續匹配就能夠了。

這種演示的說明方式確實易懂，可操做性強。可是對我我的來講，很難讓我徹底拋開例子，從理論/通用性的角度上去理解爲何看起來主串的指針不須要回溯。

好比如今有一個主字符串T[t₁, t₂, t₃,..., t_n]，模式串P[p₁, p₂, p₃,...p_m]，主串和模式串的指針在第一次匹配時，都匹配到了k+1的位置，即T和P的前k個字符都是1:1匹配的，

t₁ t₂ t₃ ... t_kt_k+1 ... t_n

p₁ p₂ p₃ ... p_kp_k+1 ... p_m

在沒有具體字符出現的狀況下，要怎麼樣解釋T在k+1處的字符串指針不須要回退到第2個字符處？

這個疑問縈繞在我腦子中好久，我也試圖經過查找大量的資料，包括《算法導論》，以及KMP三位做者共同發表的論文《Fast pattern matching in strings》，惋惜要麼基本是一筆帶過，要麼就是限於本人資質，沒有能明白其中的說明。

直到我在Quora上看到了一篇文章關於KMP解釋的文章，雖然其中主要是圍繞如何查找next(j)來進行的說明，可是給我提供了另一種思路去理解和解決個人疑問。

若是也有其餘的同窗也有與我同樣的疑惑，但願個人這篇文章可以幫助你。

進入正題

簡單說一下本文涉及到的一些術語定義：

模式串P。即一般在字符串搜索中提到的子串。長度爲m，指針指示當前字符的位置定義爲j。

主串T。即被匹配字符串，在該字符串中查找可以徹底匹配上模式串的起始位置。長度爲n (n > m)，指針指示當前字符的位置定義爲i。

i和j第一次匹配都從1開始進行計算。即t₁表明T中的第一個字符，p₁表明P中的第一個字符。

假定以前已經進行了數次匹配並失敗，當前一次的匹配是從主串的任意位置k+1處開始的，而且主串和模式串均成功匹配連續L個字符。到主串的位置(k+L+1)處匹配失敗。

那麼有
k + L + 1 = i(其中i < n); L + 1 = j (其中j < n)

t1 t2 t3 ... tk	tk+1 tk+2 tk+3 ... tk+L	tk+L+1	... ... ... tn
	p1 p2 p3 ... pL	pL+1	... pm

我以前的疑惑是，若是主串指針不從(k+L+1)回溯到(k+2)的位置，萬一k+2處開始模式串和主串可以匹配上，那這種成功匹配的場景，不就可能被遺漏了麼。

如今咱們來看看，假定在(k+2)處模式串和主串真的有成功匹配的可能，那麼基於咱們已知的信息，必然須要以下內容成立：

[p₁, p₂, p₃, ..., p_L-1 ] == [t_k+2, t_k+3, t_k+4, ..., t_k+L]

繼續分析，

Alt1: 假如咱們的主串和模式串確實可以知足上述條件，那麼接下來咱們須要進行匹配的，是p_L 與t_k+L+1，看到了麼，此時主串的指針到了回溯前的位置;

Alt2：假如咱們的主串和模式不可以知足上述條件，那麼此時主串指針回溯到(k+2)的位置匹配過程能夠結束了，位置指針能夠從新指到(k+3)的位置，而且模式串從新回溯到1的位置，繼續看是否有主串和模式串成功匹配的可能性。

咱們再來看看，假定在(k+3)處模式串和主串真的有成功匹配的可能，那麼基於咱們已知的信息，必然須要以下內容成立：

[p₁, p₂, p₃, ..., p_L-2 ] == [t_k+3, t_k+4, t_k+5, ..., t_k+L]

怎麼樣，是否是以爲很熟悉，這是一個重複上述Alt1和Alt2分析的過程，最終的結果是兩種，要麼是此時主串的指針仍是到了k+L+1的位置，要麼就是進入主串指針進入下一輪的從(k+4)的位置開始匹配的過程。

若是上述過程可以不斷的重複進行下去，始終沒有發現匹配的，直到主串指針指到(k+L)，模式串指針再一次從新回溯到了1的位置，如今咱們須要判斷以下等式是否成立的時候了：
[p₁] == [t_k+L]

又一次，咱們的分析結果：若是成立，那麼下一個主串和模式串要匹配的字符，就在主串指針的(k+L+1)的位置，與模式串的t₂進行匹配，而此時主串的位置，正是最初從k位置開始匹配時，匹配失敗的位置；
若是等式不成立，那麼主串指針天然指向(k+L+1)的位置，而模式串須要使用p₁ 與 t_k+L+1開始進行匹配。

結論

從上述過程的分析，咱們能夠看出，若是主串從k+1的位置開始與模式串進行匹配，成功匹配了L個連續字符後，主串的指針不須要回退，實際上是由於：

咱們假設能夠有多輪的隱含回溯匹配過程，經過利用已知的信息[p₁, p₂, p₃, ..., p_L ] == [t_k+1, t_k+2, t_k+3, ..., t_k+L]，咱們能夠徹底推斷處，無論這些輪匹配中，是否至少有一輪在主串的(k+L+1)字符以前，使得全部字符與有效的模式串字符匹配成功，最終都會使得主串指針指向(k+L+1)，即i這個位置。

那麼咱們要作的，就是相對來講，不須要指針i在主串中回溯，經過調整模式串的位置指針j的位置變化(next(j)函數)，來達到快速匹配的效果。

參考文獻

• https://www.quora.com/How-do-...
• http://www.mathcs.emory.edu/~...
• https://blog.csdn.net/v_july_...
• http://www.doc88.com/p-097376...