並查集與路徑壓縮

引子：
如今來看這樣一個經典問題：
親戚
若某個家族人員過於龐大，要判斷兩個是不是親戚，確實還很不容易，如今給出某個親戚關係圖，求任意給出的兩我的是否具備親戚關係。
規定：x和y是親戚，y和z是親戚，那麼x和z也是親戚。若是x,y是親戚，那麼x的親戚都是y的親戚，y的親戚也都是x的親戚。

怎麼作？
深搜？廣搜？效率過低。
鄰接矩陣？哇MLE（爆內存）！
因而咱們有一種新的方法——並查集。

分析一下這道題，咱們發現題目的核心在於判斷兩個元素的關係（是否處於一個集合），輸入給出n對元素兩兩相連。看來重點在於如何建出整個集合（多是多個）來便於查詢。

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並查集的做用：判斷兩個集合（點）之間的關係。

並查集的結構：每個集合中的元素指向那個集合的表明元素（father)。如此當判斷A和B是否在一個集合中的時候，咱們只須要查詢他們的father是不是同一個即可得出結論（後來有些變更，但大體意思是這樣的）。

並查集的初始化：
有n個元素，開始咱們將它的father 指向它本身，也就是說每一個集合中只有一個元素。

並查集的合併：
如今咱們得知A和B是親戚，那麼咱們如何合併這兩個集合哪？
答案是找到他們各自的father，將其中一個father指向另外一個（father[fathera] = fatherb），這樣咱們便完成了並查集的合併。

那麼出現了一個問題，請看下例：
已知fa[1] = 2, fa[2] = 3, fa[3] = 4，如今咱們得知2和6有關係，那麼根據上述步驟fa[2] = 6，如此完成了合併。fa (father)
我如今想知道2和4是否有關係，判斷獲得fa[2] != fa[4]，沒有關係！但事實上…
看來咱們缺乏了一個步驟——將該集合的其餘元素的fa也更新爲新的father。
由此便引出了並查集的核心之一——表明元素的選擇。

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根據上文，咱們知道每個集合的元素都指向該集合的表明元素，那麼該表明元素能夠隨意取嗎？
很顯然，天然是不能夠。那麼表明元素須要有些什麼要求？
根據fa[i] = j得出i的父親是j，意味着i有父親，可是一個有父親的元素怎麼能表明整個集合哪？至少得是它的父親表明啊。
一層一層向上，咱們便能找到一個祖先，它沒有父親。它即是那個長者，它能夠表明整個集合的元素。
獲得結論：表明元素需知足：fa[i] == i（初始化後沒有父親，可是有孩子…）

那好，一個元素中的孩子與另外一個元素的孩子有關係，合併兩個集合。咱們只須要一層一層找父親，最終將一個的祖先指向另外一個，大功告成！

再看上文的例子：咱們找到2的祖先4，fa[4] = 6，再判斷，2的祖先是…找到6，4的祖先…是6，那麼它們有同一個祖先，看來是在一個集合裏。

再仔細讀一遍流程，咱們會發如今查找和合並的時候咱們找了i的兩次祖先，可是明明在找祖先的過程當中咱們都遍歷到了i的長輩們，還要作兩次，感受好像作了無用功。

若是你並不這樣認爲，我看下面一個例子。
10000000祖先是1，1000000的父親是1000000-1，對於該集合的元素n，它的父親是n-1(n != 1)。我想找到1000000的祖先，使它與a合併。那麼我一層一層的爬…爬了1000000-1次，終於找到了1，因而咱們將1000000的集合與a的集合愉快地合併了。

我如今忽然傻了，記不住a和1000000的關係了。因而我又開始找父親了…又是1000000-1次尋找，我終於發現它們倆是一個集合。1s中你能操做1000000-1次的尋找幾回？哇TLE了！
由此引出了並查集的真正核心——路徑壓縮。

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咱們最開始的尋找（find_fa）的代碼應該是這樣的

while(fa[i] != i)
{ i = fa[i]; }

最終的i即是祖先。
可是若是咱們壓縮一下路徑，像這樣：

int find_fa(int a){
    if(a != fa[a])  fa[a] = find_fa(fa[a]);
    return fa[a];
}

這段代碼什麼意思？

效果是這樣的：
原：n->n-1->n-2->,,,->2->1;
現：n->1, n-1->1, n-2->1… 2->1;

咱們遞歸尋找，找到後回溯更新全部遍歷到的節點的父親，將它們指向祖先，一共是2*n次操做。若是不這麼操做，改用樸素法，詢問全部元素的祖先咱們須要進行（1+2+…+n）次操做，即(1+n) * n/2次操做，而壓縮完路徑，咱們只須要n次操做。兩種查詢的效率根本不在一個數量級上。

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那麼開篇的那道題，是一個很好的板子題。
源代碼以下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxn = 5005;
int n ,m, p;
int qi[maxn];
int rel(int a){
    if(a != qi[a])  qi[a] = rel(qi[a]);
    return qi[a];
}
int main(){
    //freopen("test.in", "r", stdin);
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &p);
    for(int i = 1; i != n+1; ++i)
        qi[i] = i;//初始化
    for(int i = 0; i != m; ++i){
        int c1, c2;
        scanf("%d%d", &c1, &c2);        
        c1 = rel(c1);//找c1祖先
        c2 = rel(c2);//找c2祖先
        qi[c2] = c1;//c2祖先指向c1祖先
    }
    for(int i = 0; i != p; ++i){
        int c1, c2;
        scanf("%d%d", &c1, &c2);
        if(rel(c1) == rel(c2))//一個祖先
            cout << "Yes" << endl;
        else cout << "No" << endl;
    }
    return 0;
}

由此並查集便完成了。
箜瑟_qi 2017.04.09 23:48