機器數與碼制——如何在計算機內部存儲數字、進行數據運算

機器數

機器數

　　各類數據在計算機內部的表示和存儲形式稱爲機器數。

　　特色：

• 採用二進制計數；
• 數的符號（正負）用「0、1」表示；
• 小數點隱含表示二不佔位置。

機器數的真值

　　機器數所對應的實際數值。　

機器數的分類

　　無符號機器數和帶符號機器數。　

無符號機器數（表示正數）

　　無符號(無正負號)機器數表示正數，所有二進制位均表明數值，沒有符號位。

• 若約定小數點的位置在機器數的最低位以後，則是純整數(正整數)。
• 若約定小數點的位置在機器數的最高位以前，則是純小數(正小數)。
• 不能用原碼、反碼、補碼等編碼方法表示。

帶符號機器數(表示實數)

　　帶符號機器數既能夠表示正數，也能夠表示負數。

　　最高位是符號位("0"表示「+」。「1」表示「-」)，其他位表示數值。

• 若約定小數點的位置在機器數的最低位以後，則是純整數。
• 若約定小數點的位置在機器數的最高位以前，則是純小數。
• 可採用原碼、反碼、補碼等編碼方法表示。

碼制

　　爲了運算方便，帶符號的機器數可採用原碼、反碼、補碼、移碼等不一樣的編碼方式表示。

　　這些編碼方法被稱爲碼制。

原碼錶示

規則：

• 數值X的原碼記爲[X]_原；
• 機器字長爲n,即採用n個二進制位表示數據。
• 最高位爲符號位，「0」表示正號，「1」表示負號。
• 其他的n-1位表示數值的絕對值。
• 對數「0」有「+0」和「- 0」兩種表示形式。
• 對於機器字長爲n+1位的機器，原碼錶示法可表示的整型數值範圍爲：-2ⁿ+1 ≤ X ≤ 2ⁿ-1。
• 當X ≥ 0時，[X]_原 = 0X；　　eg：[+7]_原 = 00000111 (設機器字長爲8)。
• 當X ≤ 0時，[X]_原 = 1X；　　eg：[- 7]_原 = 10000111 (設機器字長爲8)。
• [+0]_原 = 00000000；
• [- 0]_原 = 10000000；

Example-1：

　　　　[+1]_原 = 00000001；　　[-1]_原 = 10000001。

　　　　[+127]_原 = 01111111；　　[-127]_原 = 11111111。注：(127)_D = (1111111)_B。

　　　　[+45]_原 = 00101101；　　[-45]_原 = 10101101。 注：(45)_D = (101101)_B。

反碼錶示

規則：

• 數值X的反碼記爲[X]_反；
• 機器字長爲n,即採用n個二進制位表示數據。
• 最高位爲符號位，「0」表示正號，「1」表示負號。
• 其他的n-1位表示數值。
• 對數「0」有「+0」和「-0」兩種表示形式。
• 對於機器字長爲n+1位的機器，反碼錶示法可表示的整型數值範圍爲：-2ⁿ+1 ≤ X ≤ 2ⁿ-1。
• 正數的反碼與原碼相同。即當X ≥ 0時，[X]_反 = [X]_原 = 0X。
• 負數的反碼則是要將除符號位外的絕對值按位取反。
• 當X ≥ 0時，[X]_反 = 0 X；　　eg：[+7]_反 [+7]_原 = 00000111 (設機器字長爲8)。
• 當X ≤ 0時，[X]_反 = 1 |X|；　　eg：[- 7]_反 = 11111000 (設機器字長爲8)。
• [+0]_反 = 00000000；
• [- 0]_反 = 11111111；

Example-1：

　　　　[+1]_反 = 00000001；　　[-1]_反 = 11111110。

　　　　[+127]_反 = 01111111；　　[-127]_反 = 10000000。注：(127)_D = (1111111)_B。

　　　　[+45]_反 = 00101101；　　[-45]_反 = 11010010。 注：(45)_D = (101101)_B。

補碼錶示

規則：

• 數值X的補碼記爲[X]_補；
• 機器字長爲n,即採用n個二進制位表示數據。
• 最高位爲符號位，「0」表示正號，「1」表示負號。
• 其他的n-1位表示數值。
• 對數「0」只有惟一的「0」一種表示形式。
• [+0]_補 = 00000000；
• [- 0]_補 = 00000000；
• 對於機器字長爲n+1位的機器，反碼錶示法可表示的整型數值範圍爲：-2ⁿ ≤ X ≤ 2ⁿ-1。
• 正數的補碼與其反碼和原碼相同。即當X ≥ 0時，[X]_補 = [X]_反 = [X]_原 = 0X。
• 負數的補碼則等於在其反碼的末尾加1(將其原碼除符號位外的其餘位按位取反後加1)。
• 當X ≥ 0時，[X]_補 = [X]_反 = [X]_原 = 0X；　　eg：[+7]_補 = [+7]_反 = [+7]_原 = 00000111 (設機器字長爲8)。
• 當X < 0時，[X]_補 = 1 |X| +1　　eg：[- 7]_補 = 11111001  [- 7]反 =  11111000(設機器字長爲8)。

Example-1：

　　　　[+1]_補 = 00000001；　　[- 1]_反 = 11111110；　　[- 1]_補 = 11111111。

　　　　[+127]_補 = 01111111；　　[- 127]_反 = 10000000；　　[- 127]_補 = 10000001。注：(127)_D = (1111111)_B。

　　　　[+45]_補 = 00101101；　　[- 45]_反 = 11010010；　　[- 45]_補 = 11010011。 注：(45)_D = (101101)_B。

補碼運算的優勢(功能)

　　將減法運算變成加法運算(由於運算器中只有加法器)。

　　例如計算96 - 20 = ？。

	96	-20	76
無符號位二進制表示	1100000	-10100	1001100
原碼	01100000	10010100	01001100
反碼	01100000	11101011	01001100
補碼	01100000	11101100	01001100

　　將96-20轉換爲[96]_補 + [-20]_補，計算過程以下：

　　最高位的進位1天然丟失。

補碼錶示的一個另外狀況(原碼、反碼錶示無此狀況)

　　對於n位補碼錶示法，當符號位爲1而數值位所有爲0時，它表示整數 -2^n-1,即此時符號位的1，既表示負數又表示數值。

　　Eg:當機器字長爲8時，符號位爲1而數值位所有爲0爲數值 10000000，(10000000)_B = (128)_D = 2^8-1 = 2⁷ = 128。且符號位還表示負號。

　　因此[- 128]補 = 10000000。

補碼的另外一特色

　　用補碼錶示時，因爲符號位和數值位一塊兒編碼，難以從補碼碼值形式判斷真值大小。如45 > - 45，然而，[45]_補 = 00101101 < [- 45]_補 = 11010011。

移碼(增碼)表示

　　移碼（又叫增碼）是符號位取反的補碼，將補碼的符號位取反便可獲得移碼錶示；通常用作浮點數的階碼，引入的目的是爲了保證浮點數的機器零爲全0。

　　採用移碼錶示時，碼值與真值大小成正比，碼值大者對應的真值也大。

規則：

• 最高位爲符號位，「1」表示正號，「0」表示負號。
• 機器字長爲n,即採用n個二進制位表示數據。
• 當-2ⁿ ≤ X ≤ 2ⁿ時，[X]_移 = 2ⁿ+X。

特色：

• 保持了數據原有的大小順序，便於進行比較操做。

機器數的運算

機器數的加減運算

　　在計算機中，能夠只設置加法器，而將減法運算轉換爲加法運算來實現。

原碼加、減法

•  兩個符號相同的原碼數相加時，只需將數值部分直接相加，運算結果的符號與兩個加數的符號相同。
• 若兩個加數的符號相異，則應進行減法運算。方法：先比較兩個數絕對值的大小，而後用絕對值大者的絕對值減去絕對值小者的絕對值，結果的符號取絕對值大者的符號。

　　原碼錶示的機器數進行減法運算是很煩的，因此在計算機中的加、減法運算主要採用補碼錶示的機器數。

補碼加、減法

 　　計算機中的加、減法運算通常用補碼來實現。

　　在補碼錶示中，可將減法運算轉換成加法運算。

補碼加法：

　　和的補碼等於補碼求和。　　[X+Y]_補 = [X]_補+[Y]_補

補碼減法：

　　差的補碼等於被減數的補碼加上減數取負後的補碼。　　[X-Y]_補 = [X]_補+[-Y]_補

• 由[X]_補求[-X]_補的方法：
• 將[X]_補的各位取反(包括符號位)，末尾加1。

總結：

　　X±Y → [X+Y]_補=[X]_補+[±Y]_補

　　Example-1:

　　　　設二進制整數X = +1000100, Y = +1110,求X+Y與X-Y的值。

　　　　解：

　　　　　　　　設用8位補碼錶示帶符號機器數

　　　　　　　　由於X和Y都是正數

　　　　　　　　因此[X]_補 = 01000100，[Y]_補 = 00001110；

　　　　　　　　

溢出及其斷定

 

機器數的乘除運算

　　機器數的乘除法運算，一般有以下3種實現形式：

　　　　1.純軟件方案。在只有加法器的低檔計算機中，沒有乘、除法指令，乘除運算使用程序來實現的。這種方案的硬件結構簡單，但做乘除法運算時速度緩慢。

　　　　2.在現有的可以完成加減運算的算術邏輯單元ALU的基礎上，經過增長少許的左、右移位的邏輯電路，來實現乘除運算。與純軟件方案相比，這種方案增長硬件很少，而乘除法的運算速度有了較大提升。

　　　　3.設置專用的硬件陣列乘法器(或除法器)，完成乘除法運算。該方案需付出較高的硬件代價，可得到最高的執行速度。