淺談莫比烏斯反演的常見套路

博客園已掛，表示不想修了，直接來這裏看吧

整理一下，否則再過三天就又忘了。

莫比烏斯反演的套路

emmm，由於我作過的題太少了，因此可能很是不全。

如下的式子都是用\(\sum_{d \ | n} \mu(d) = [n = 1]\)推出來的，想看"正規"形式的能夠參考這裏

若是不作特殊說明的話，\(\frac{n}{k}\)默認爲下取整，保證\(n < m\)

\(\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m gcd(i, j) = k\)

這類應該是最基礎的問題

\begin{aligned}
&\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m gcd(i, j) = k \
&\sum_{i = 1}^{\frac{n}{k}} \sum_{j = 1}^{\frac{m}{k}} [gcd(i, j)]\
&\sum_{i = 1}^{\frac{n}{k}} \sum_{j = 1}^{\frac{m}{k}} \sum_{d  | gcd(i, j)} \mu(d)\
&\sum_{i = 1}^{\frac{n}{k}} \sum_{j = 1}^{\frac{m}{k}} \sum_{d  | i} \sum_{d  | j}\mu(d)\
&\sum_{d = 1}^n \mu(d) \sum_{i = 1}^{\frac{n}{k}} \sum_{d  | i} \sum_{j = 1}^{\frac{m}{k}}\sum_{d  | j} 1\
&\sum_{d = 1}^n \mu(d) \frac{n}{kd} \frac{m}{kd}\
\end{aligned}

而後直接對後面的數論分塊就好了

題目

BZOJ1101: [POI2007]Zap

\(\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m gcd(i, j)\)

按照套路，枚舉\(gcd\)

\begin{aligned}
&\sum_{d = 1}^n \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m gcd(i, j) = d \
&\text{後面的一坨直接按照第一種套路推，最終會獲得}\
&\sum_{d = 1}^n \sum_{k=1}^n \mu(k) \frac{n}{kd} \frac{m}{kd}\
&\text{設\(T = kd\)}\
&\sum_{T = 1}^n \frac{n}{T} \frac{m}{T} \sum_{d  | T} d \mu(\frac{T}{d})
\end{aligned}

設$g(T) = \sum_{d  | T} d \mu(\frac{T}{d}) $

不難發現這是個嚴格的狄利克雷卷積的形式，那麼顯然\(g\)也是個積性函數，咱們能夠直接線性篩預處理後面的部分，數論分塊搞前面的。總的複雜度就是\(O(n + T\sqrt{n})\)

拓展

這裏題目最多見的拓展就是在\(gcd(i, j)\)外面再套一個函數，處理的策略都是同樣的，化到最後獲得的基本也都是積性函數，若是不是就暴力篩，是的話線性篩。至於怎麼線性篩積性函數能夠看這裏。

題目

BZOJ4407: 於神之怒增強版

BZOJ4804: 歐拉心算

\(\prod_{i = 1}^n \prod_{j = 1}^m gcd(i, j)\)

\begin{aligned}
&\prod_{d = 1}^n d^{{\sum_{i = 1}^n \sum_{j=1}^m} gcd(i, j) = d}\
&\text{而後按照上面的套路推，能夠獲得下面的式子}\
&\prod_{d = 1}^n d^{\sum_{k=1}^{\frac{n}{d}} \mu(k) \frac{n}{kd}\frac{m}{kd}}\
&\text{設\(T= kd\)，枚舉\(T\)}\
&\prod_{T = 1}^n (\prod_{d  | T} d^{\mu(\frac{T}{d})})^{\frac{n}{T} \frac{m}{T}}\
\end{aligned}

設\(g(T) = \prod_{d \ | T} d^{\mu(\frac{T}{d})}\)

到了這裏就有必要好好說說了，按照常規的套路反演出的\(g(T)\)應該是個積性函數，然而這裏並非，可是暴力打表以後能夠發現一些規律

當\(T\)爲質數的冪時, 設\(T = p^q\)，那麼\(g(T) = p\)，除此以外\(g(T) = 1\)

那麼直接枚舉質數的冪次更新\(g\)，因爲質數的密度大概是\(\frac{n}{\ln n}\)，並且每一個質數的枚舉上界爲\(\log n\)那麼總複雜度爲\(O(\frac{n}{ln n}) \log n = O(n)\)

拓展

這種形式一樣有許多的拓展，最多見的也是在\(gcd\)的那裏再套上個什麼函數

好比，[SDOI2017]數字表格就是要求

\[\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m f(gcd(i, j))\]

其中\(f(i)\)表示第\(i\)個斐波那契數

這種題就按照套路推，推到最後一步，若是發現\(g(T)\)不能快速計算就直接暴力枚舉因子，否則就xjb找規律。。

小結

莫比烏斯反演的一大特色就是套路性強，可是不少題仍是至關有難度的，好比把某個問題轉成反演，反演轉圖論。像我這種菜雞確定是這輩子都作不出來的qwq

參考資料

山東2017夏令營丁明朔講課