生成函數

其餘：

對\[{1\over 1-x}=1+x+x^2+x^3\cdots\]
進行加減乘除求導積分，或把\(x\)代換成\(ax\)等方法獲得一些奇怪的公式，參見小函數\(qwq\)
令\(x\)取\(-x\)則原式變爲容斥形式

指數型生成函數

\(~~~~\)生成函數的每一項係數變爲\[\frac {a_i}{i!}\]\(~~~~\)這樣能夠發現一些規律，而且在求解組合數問題時會派到用場。

生成函數解一次遞推題：

step1：

\(~~~~\)設出母函數的冪級數形式，利用遞推公式（左右兩邊相減得0）把冪級數形式乘除加減求導積分化爲閉形式。

step2：

\(~~~~\)把閉形式分解成能夠化成確切已知冪級數的小函數（見文章最後）加減形式，獲得通項公式。

生成函數解二次遞推題：

step1：

\(~~~~\)利用生成函數（大眼觀察法）求出\(f(0,m)\)的通項公式(能夠理解成\(f(0,m)\)與\(f(0,0)\)的關係)。

step2：

\(~~~~\)固定列\(m\)(把\(m\)看成常數),求出\(f(n,m)\)與\(f(0,m)\)的關係(通項公式，可是除n外，帶常數m)，把\(f(m,0)\)代入得\(f(n,m)\)與\(f(0,0)\)的關係，即通項公式。
\(~~~~\)例題

卷積型生成函數解遞推式：

遞推公式大體形態:\(h_n=\sum_{i=0}^n h_i\times h_{n-i}\)

核心操做：

令\(g(x)\)爲其生成函數，則可獲得：相鄰兩階導數的關係，將生成函數冪級數形式求導帶入，根據對應項相等，可得\(O(n)\)遞推公式。例題

生成函數解排列組合問題：

能夠求解的問題：

\(~~~~\)用一些物品組合成一個集合的方案數，對物品的選取有要求，如只能選某個數的倍數次，或很少於某個數等。

step1：

\(~~~~\)每一個物品分別用指數表明貢獻，係數表明方案，互斥的選取方法用+鏈接，不一樣物品乘起來。

step2：

\(~~~~\)把整個式子化成閉形式，再展開成冪級數形式，i項的係數就是組成集合有總數爲i的貢獻的方案數。

另外一種方法：

在特殊限制下，每個物品都有單位選取個數，且能夠選無數個，那麼能夠設生成函數\[A(x)=\sum a_i\times x^i\]\(a_i\)表示單位選取方案數，\(m_i\)表示單位個數，那麼答案生成函數
\[B(x)=\sum_{n\ge 0} A(x)^n={1\over 1-A(x)}\]
即從選幾個物品的角度來看，每次從中選一個。

指數型生成函數的意義：

\(~~~~\)若求排列數，那麼就要使用指數型生成函數，多項式係數仍表明組合數，數列表明排列數，最後獲得一個冪級數，它的係數就是排列數。（組合數？？？爲何不直接除階乘？？？？）

祕籍\(\cdot\)小函數：

\(1\).\[\sum_{n\ge 0}x^{n} ={1 \over 1-x}\]
\(2\).\[\sum_{n\ge 0}{n+m-1\choose m-1}x^{n}=\frac 1{(1-x)^m}\]
(多個函數卷積，插板法)
\(4\).\[\sum_{n\ge 0}\frac{x^n}{n!}=e^x(from~taylor)\]
\(5\).\[\sum_{n\ge 1}\frac{x^n}{n}=\ln\frac{1}{1-x}\]

(一次求導才獲得\(\frac 1 {1 - x}\)，因此每個都多乘了\(n\)，方程的解多除一個)

\(7\).\[\sum_{0\le n\le p}x^n=\frac{1-x^{p+1}}{1-x}\]
(\(1\)保留自己 \(-x^{p+1}\)把他後面\(p+1\)項減掉，只有\(1\)~\(p\)沒有被減)
\(10\).\[\sum_{n\ge 0}\frac{x^{2n}}{(2n)!}=\frac{e^x + e^{-x}}{2}(from~4)\]
\(11\).\[\sum_{n\ge 0} \frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!}=\frac{e^x - e^{-x}}{2}(from~4)\]
\(12\).\[\sum_{n \ge 0}(-1)^{n+1}\frac{x^{n}}{n}=\ln(1+x)\]

\(\frac{1}{1+x}\)求導得\(\sum_{i\ge 0}(-1)^ix^i\)因爲\(\ln(1+x)\)求導一次才得\(\frac{1}{1+x}\)多乘一個\(n\)，方程的解要除去且\((-1)^i\)奇偶性發生變化變成\((-1)^{i+1}\)

\(13\).\[\sum_{n\ge 0} {a\choose n}\times x^n=(1+x)^a (from~high-text-book)\]
\(14\).\[\sum_{n\ge 0} (x+y)^n=\frac {1}{1-x-y}(x=x+y)\]
\(3\).\[\sum_{n\ge 0}c^nx^n=\frac{1}{1-cx}(x=cx)\]
\(8\).\[\sum_{0\le n\le p}x^{n\times a}=\frac{1-x^{a\times(p+1)}}{1-x^a} (x=x^a)\]

關鍵：

把意義與函數指數係數對應起來。

坑

多項式取ln