HDU 4651 (生成函數)

HDU 4651 Partition

Problem :
n的整數劃分方案數。(n <= 100008)
Solution :
參考資料：
五角數 歐拉函數 五邊形數定理 整數劃分 一份詳細的題解
歐拉函數的定義以下:
\[\phi(q) =\prod\limits_{n=1}^{\infty}(1-q^n) \]
五邊形定理對歐拉函數展開以下:
\[\phi(q) = \sum_{n = 0}^{n = \infty}(-1)^nq^{\frac{3n^2\pm n}{2}}\]
其中 \(\frac{3n^2\pm n}{2}\)爲廣義五邊形數。
而歐拉函數的倒數爲
\[\frac{1}{\phi(q)} = \prod\limits_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1-q^k} \]
\[\frac{1}{\phi(q)} = (1 + q + q ^2 + \cdots)(1 + q ^ 2 + q ^ 4 + \cdots)(1 + q ^ 3 + q ^ 6 + \cdots)'\cdots \]
\[ \frac{1}{\phi(q)}= \sum_{n =0}^{\infty}P(q) q^n\]
其中P(q)即爲q的整數劃分方案數，能夠從展開式的意義考慮，對於第一個括號表示1取幾個，第二個括號表示2取幾個，以此類推。
將上下兩個式子相乘即獲得
\[\sum_{n =0}^{\infty}P(q) q^n * \sum_{n = 0}^{n = \infty}(-1)^nq^{\frac{3n^2\pm n}{2}} = 1 \]
\[(1 + P(1) * q + P(2) * q^2 + P(3) * q ^ 2 + \cdots)(1 - q - q ^ 2 + q ^ 5 + \cdots) = 1\]
展開可獲得
\[P(n) = \sum_{i = 1} (-1)^{i -1} P(n - \frac{3*i^2 \pm i}{2}) \]
其中要保證括號內的數大於等於0.

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
#include <map>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 8;
const int mo = 1e9 + 7;

int dp[N];

int main()
{
    cin.sync_with_stdio(0);
    int n = 1e5;
    dp[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for (int j = 1, tmp = 1; i >= (3  * j * j - j) / 2; ++j, tmp *= -1)
        {
            int x = (3 * j * j - j) / 2;
            int y = (3 * j * j + j) / 2;
            dp[i] = ((dp[i] + tmp * dp[i - x]) % mo + mo) % mo;
            if (i >= y) dp[i] = ((dp[i] + tmp * dp[i - y]) % mo + mo) % mo;
        }
    }
    int T; cin >> T;
    while (T--)
    {
        int n; cin >> n;
        cout << dp[n] << endl;
    }
}