抽獎機率-三種算法

最近接觸到一個抽獎需求，加上平時玩的暗黑3不多掉暗金裝備，就抽空學習下這類機率問題，暫時按網絡稱爲掉寶類型機率。
例如遊戲中戰勝一個boss，會掉落下面其中一個物品，而每一個物品都有必定機率：
1. 靴子 20%
2. 披風 25%
3. 飾品 10%
4. 雙手劍 5%
5. 金幣袋 40%
如今的問題就是如何根據機率掉落一個物品給玩家。

一. 通常算法：生成一個列表，分紅幾個區間，例如列表長度100，1-20是靴子的區間，21-45是披風的區間等，而後隨機從100取出一個數，看落在哪一個區間。算法時間複雜度：預處理O(MN)，隨機數生成O(1)，空間複雜度O(MN)，其中N表明物品種類，M則由最低機率決定。

2、離散算法：也就是上面的改進，居然1-20都是靴子，21-45都是披風，那抽象成小於等於20的是靴子，大於20且小於等於45是披風，就變成幾個點[20,45,55,60,100]，而後也是從1到99隨機取一個數R，按順序在這些點進行比較，知道找到第一個比R大的數的下標，比通常算法減小佔用空間，還能夠採用二分法找出R，這樣，預處理O(N)，隨機數生成O(logN)，空間複雜度O(N)。
請點擊查看詳細：http://www.cnblogs.com/miloyip/archive/2010/04/21/1717109.html

3、Alias Method
Alias Method就不太好理解，實現很巧妙，推薦先看看這篇文章：http://www.keithschwarz.com/darts-dice-coins/
大體意思：把N種可能性拼裝成一個方形（總體），分紅N列，每列高度爲1且最多兩種可能性，可能性抽象爲某種顏色，即每列最多有兩種顏色，且第n列中必有第n種可能性，這裏將第n種可能性稱爲原色。
想象拋出一個硬幣，會落在其中一列，而且是落在列上的一種顏色。這樣就獲得兩個數組：一個記錄落在原色的機率是多少，記爲Prob數組，另外一個記錄列上非原色的顏色名稱，記爲Alias數組，若該列只有原色則記爲null。

以前的例子，爲了便於演示換成分數
1. 靴子 20% -> 1/4
2. 披風 25% -> 1/5
3. 飾品 10% -> 1/10
4. 雙手劍 5% -> 1/20
5. 金幣袋 40% -> 2/5
而後每一個都乘以5（使每列高度爲1），再拼湊成方形
拼湊原則：每次都從大於等於1的方塊分出一小塊，與小於1的方塊合成高度爲1

 

由上圖方形可獲得兩個數組：
Prob: [3/4, 1/4, 1/2, 1/4, 1]
Alias: [4, 4, 0, 1, null] (記錄非原色的下標)

以後就根據Prob和Alias獲取其中一個物品
隨機產生一列C，再隨機產生一個數R，經過與Prob[C]比較，R較大則返回C，反之返回Alias[C]。

Alias Method 複雜度：預處理O(NlogN)，隨機數生成O(1)，空間複雜度O(2N)

PHP實現Alias Method

/**

 * @desc 拼湊，得到Prob和Alias數組

 * @param array $data

 * @param array $prob

 * @param array $alias

 */

function init(array $data, array &$prob, array &$alias) {

    $nums = count($data);

    $small = $large = array();

    for ($i = 0; $i < $nums; ++$i) {

        $data[$i] = $data[$i] * $nums; // 擴大倍數，使每列高度可爲1

         

        /** 分到兩個數組，便於組合 */

        if ($data[$i] < 1) {

            $small[] = $i;

        } else {

            $large[] = $i;

        }

    }

 

    /** 將超過1的色塊與原色拼湊成1 */

    while (!empty($small) && !empty($large)) {

        $n_index = array_shift($small);

        $a_index = array_shift($large);

         

        $prob[$n_index] = $data[$n_index];

        $alias[$n_index] = $a_index;

        // 從新調整大色塊

        $data[$a_index] = ($data[$a_index] + $data[$n_index]) - 1;

         

        if ($data[$a_index] < 1) {

            $small[] = $a_index;

        } else {

            $large[] = $a_index;

        }

    }

     

    /** 剩下大色塊都設爲1 */

    while (!empty($large)) {

        $n_index = array_shift($large);

        $prob[$n_index] = 1;

    }

     

    /** 通常是精度問題纔會執行這一步 */

    while (!empty($small)) {

        $n_index = array_shift($small);

        $prob[$n_index] = 1;

    }

}

 

/**

 * @desc 獲取某種物品

 * @param array $prob

 * @param array $alias

 * @return int

 */

function generation($prob, $alias) {

    $nums = count($prob) - 1;

 

    $MAX_P = 100000; // 假設最小的概率是萬分之一

    $coin_toss = rand(1, $MAX_P) / $MAX_P; // 拋出硬幣

     

        $col = rand(0, $nums); // 隨機落在一列

    $b_head = ($coin_toss < $prob[$col]) ? TRUE : FALSE; // 判斷是否落在原色

     

    return $b_head ? $col : $alias[$col];

}

 

$data = array(0.25, 0.2, 0.1, 0.05, 0.4);

$prob = $alias = array();

 

init($data, $prob, $alias);

$result = generation($prob, $alias);

 

$count = array(0, 0, 0, 0, 0);

for ($i = 0; $i < 10000; $i++) {

    $result = generation($prob, $alias);

    $count[$result]++;

}

echo '<pre>';

print_r($count);

echo '</pre>';

 

/**

Array

(

    [0] => 2463

    [1] => 1982

    [2] => 972

    [3] => 507

    [4] => 4076

)