Python 中素數的玩法
質數
質數又稱素數。指整數在一個大於1的天然數中，除了1和此整數自身外，無法被其餘天然數整除的數。換句話說，只有兩個正因數（1和本身）的天然數即爲素數。比1大但不是素數的數稱爲合數。1和0既非素數也非合數。素數在數論中有着很重要的做用。
質數的分佈規律是以36N（N+1）爲單位，隨着N的增大，素數的個數以波浪形式漸漸增多。
孿生質數也有相同的分佈規律。 python
素數，廣泛認爲的分佈規律是沒有規律。時而連續出現，時而又相隔很遠很遠。有遠親、有近鄰，地球對面也還有幾個好朋友。
素數,真的就沒有規律嗎？
合數能夠用公式來表示，而素數且不能用公式來表示。這就是素數。
不過這裏其實就蘊含着祕密。
既然合數能用公式表示，間接的也就說明了，素數必須服從這些公式的限制。而研究合數，其實也是研究素數。
有2個根深蒂固的觀念：
一、素數的個數老是按照天然數增長10倍來統計展示的。由於這裏一直沿用π(x)與x/lnx的統計方法。
二、100之內有25個素數，1000之內有168個素數。就產生了一種根深蒂固的觀念：素數愈來愈稀疏。
固然這些都沒有錯誤，不然也不會一直陪伴着素數研究到如今，但它禁錮了人們的思想。有一些數據彷佛與之相悖。
列舉一些四胞胎素數的例子，
四胞胎素數是不多的，在天然數1000億之內僅僅有1209317組。平均間距爲82691。兩組之間相距是很遠的。但總有一些間距僅僅爲30的兩對四胞胎素數稀稀拉拉的出現。在1000億之內共有這樣四胞胎素數267對，他們是如何分佈的呢？
200億之內有90個；200-400億之間有55個；
剩下的如何分佈的呢，你不會相信的：
400-600億之間有41個；
600-800億之間有41個；
800-1000億之間有40個；
這樣的分佈說明了什麼？均勻分佈？你們確定不會相信的，我也不信，那彷佛就只能是巧合了。你們必定也會認爲是這純屬巧合。素數嘛，飄忽不定，怎麼分佈都有可能，但就是沒有規律。至少你們尚未發現其分佈規律。算法
打印質數
打印100之內的質數
count = 0
for i in range(2,101):
for x in range(2,i):
if i%x == 0:
break
else:
print(i)
count += 1
print("\n","Total: ",count,"number")
----
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
Total: 25 number
這種方法的思路，時間複雜度是O(n²)，2層循環，雖然會break，但效率仍是很低的app
優化算法，尋找中點
其實咱們發現咱們求解質數的時候，根本不須要從2除到N-1，當除數大於商的時候咱們就不用計算了。
用數學的話來講咱們只需除到平方根就行了ide
count = 0
for i in range(2,100000):
for x in range(2,int(i**0.5)+1):
if i%x == 0:
break
else:
print(i)
count += 1
print("\n","Total: ",count,"number")
----
2
3
5
7
11
13
·······
99907
99923
99929
99961
99971
99989
99991
Total: 9592 number
繼續優化，大於2的偶數都不是質數
因此對於偶數都不用判斷是否是素數，修改步長區塊鏈
count = 1
print(2)
for i in range(3,100000,2):
for x in range(2,int(i**0.5)+1):
if i%x == 0:
break
else:
print(i)
count += 1
print("\n","Total: ",count,"number")
----
2
3
5
7
11
13
·······
99907
99923
99929
99961
99971
99989
99991
Total: 9592 number
進行優化，第二層的for循環
第二層for循環判斷的是奇數/range(2，奇數的開方)
可是2,4,6,8···這種數確定不能被奇數整除，不用考慮，能夠不加判斷測試
count = 1
print(2)
for i in range(3,100000,2):
for x in range(3,int(i**0.5)+1,2):
if i%x == 0:
break
else:
print(i)
count += 1
print("\n","Total: ",count,"number")
----
2
3
5
7
11
13
·······
99907
99923
99929
99961
99971
99989
99991
Total: 9592 number
計算以上方法的效率
計算以上的程序運行時間，取1000000之內的質數優化
方法一
from datetime import datetime
t1 = datetime.now()
count = 0
for i in range(2,1000000):
for x in range(2,i):
if i%x == 0:
break
else:
#print(i)
count += 1
print("\n","Total: ",count,"number")
t2 = datetime.now()
print("Total_Cost:",(t2-t1).total_seconds(),"s")
我喝了一杯咖啡，還沒計算完...已經超過五分鐘了，不等了
而後減小10倍，測試100000之內的數據...用了40scode
方法二
from datetime import datetime
t1 = datetime.now()
count = 0
for i in range(2,1000000):
for x in range(2,int(i**0.5)+1):
if i%x == 0:
break
else:
#print(i)
count += 1
print("\n","Total: ",count,"number")
t2 = datetime.now()
print("Total_Cost:",(t2-t1).total_seconds(),"s")
----
Total: 78498 number
Total_Cost: 6.26467 s
用了6.26467s,效率大大提高內存
方法三
from datetime import datetime
t1 = datetime.now()
count = 1
#print(2)
for i in range(3,1000000,2):
for x in range(2,int(i**0.5)+1):
if i%x == 0:
break
else:
# print(i)
count += 1
print("\n","Total: ",count,"number")
t2 = datetime.now()
print("Total_Cost:",(t2-t1).total_seconds(),"s")
----
Total: 78498 number
Total_Cost: 5.80345 s
用了5.80345s,效率稍微進步數學
方法四
from datetime import datetime
t1 = datetime.now()
count = 1
#print(2)
for i in range(3,1000000,2):
for x in range(3,int(i**0.5)+1,2):
if i%x == 0:
break
else:
#print(i)
count += 1
print("\n","Total: ",count,"number")
t2 = datetime.now()
print("Total_Cost:",(t2-t1).total_seconds(),"s")
----
Total: 78498 number
Total_Cost: 3.375002 s
用了3.375002s,效率約提升50%
進階方法
在上述方法四的基礎上，引入列表
先把第二層循環用列表替代
from datetime import datetime
t1 = datetime.now()
count = 1
lst = [2]
for i in range(3,1000000,2):
#for x in range(3,int(i**0.5)+1,2):
for x in lst:
if i%x == 0 and x <= i**0.5:
break
else:
lst.append(i)
count += 1
t2 = datetime.now()
print("Total Number:", count, "Total_Cost:", (t2-t1).total_seconds(),"s")
----
Total Number: 78498 Total_Cost: 234.643142 s
由於每次都要if判斷兩次結構（a and b）,效率會低，修改下方案
修改if and 結構
from datetime import datetime
t1 = datetime.now()
count = 1
lst = [2]
for i in range(3,1000000,2):
flag = False
middle = int(i**0.5)
for x in lst:
if i%x == 0:
break
if x > middle:
flag = True
break
if flag:
lst.append(i)
count += 1
t2 = datetime.now()
print("Total Number:", count, "Total_Cost:", (t2-t1).total_seconds(),"s")
----
Total Number: 78498 Total_Cost: 1.560107 s
能夠能夠，上面的方法四計算1000000內素數用時是3.37s，而如今，只須要1.56s,效率又提升50%以上
還能優化嗎？
有一個數在作無用功，它就是2，任何素數都不能整除2
from datetime import datetime
t1 = datetime.now()
count = 2 #[2]
lst = [3]
for i in range(5,1000000,2):
flag = False
middle = int(i**0.5)
for x in lst:
if i%x == 0:
break
if x > middle:
flag = True
break
if flag:
lst.append(i)
count += 1
t2 = datetime.now()
print("Total Number:", count, "Total_Cost:", (t2-t1).total_seconds(),"s")
----
Total Number: 78498 Total_Cost: 1.513069 s
略微提高，也有效果
還有嗎？
在求無限質數的時候，咱們不能預測有多少結果
可是對於求1000000內質數，咱們如今知道了有多少結果
這樣就能夠提早開闢內存空間，替代append()
孿生素數
還有別的方法嗎？固然有！孿生素數了解下
孿生素數就是指相差2的素數對，例如3和5，5和7，11和13…。孿生素數猜測正式由希爾伯特在1900年國際數學家大會的報告上第8個問題中提出，能夠這樣描述：存在無窮多個素數p，使得p + 2是素數。素數對（p, p + 2）稱爲孿生素數。
總結下來就是一句話：當素數大於3時，素數都在 6N-1 和 6N+1 左右分佈
| 素數 | 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 25 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 步長 | 2 | 4 | 2 | 4 | 2 | 4 | 2 | 4 |
由此，在循環中用一個可變步長就能夠，C語言有可變步長;
然而Python沒有可變步長這一說- -
下面上代碼實現
from datetime import datetime
t1 = datetime.now()
count = 3 #2,3,5
lst = [3,5]
step = 4
i = 7
while i < 1000000:
if i%5 != 0:
middle = int(i**0.5)
flag = False
for x in lst:
if i%x == 0:
break
if x > middle:
flag = True
break
if flag:
lst.append(i)
count += 1
i += step
step = 4 if step == 2 else 2
t2 = datetime.now()
print("Total Number:", count, "Total_Cost:", (t2-t1).total_seconds(),"s")
----
Total Number: 78498 Total_Cost: 1.35155 s
1.513069s —> 1.35155s 還能夠哈哈
質數相關的理論
- 哥德巴赫猜測：任何大於5的奇數都是三個素數之和
- 衍生：任何一個大於2的偶數都是兩個素數之和
- 伯特蘭猜測：對於任意正整數n>1，存在一個素數p，使得n<p<2n
- 孿生素數猜測：存在無窮多的形如p和p+2的素數對
- n2+1 猜測：存在無窮多個形如n2+1的素數，其中n是正整數
量子計算機，瞭解一下......密碼學、區塊鏈都將被從新定義~
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