素數的篩法

時間 2019-11-06

標籤素數篩法简体版

原文原文鏈接

素數的篩法有不少種算法

在此給出常見的三種方法函數

如下給出的全部代碼均已經過這裏的測試測試

埃拉託斯特尼篩法

名字好長 :joy: 不過代碼很短優化

思路很是簡單，對於每個素數，枚舉它的倍數，它的倍數必定不是素數spa

這樣必定能夠保證每一個素數都會被篩出來code

還有，咱們第一層循環枚舉到$\sqrt(n)$就好，由於若是當前枚舉的數大於n，那麼它能篩出來的數必定在以前就被枚舉過blog

好比說：get

$\sqrt(100)=10$it

不難發現咱們從$20$枚舉所篩去的數必定被$5$篩過io

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cmath>
 3 using namespace std;
 4 const int MAXN=10000001;
 5 inline int read()
 6 {
 7     char c=getchar();int f=1,x=0;
 8     while(c<'0'||c>'9')    {if(c=='-')    f=-1;c=getchar();}
 9     while(c>='0'&&c<='9')    x=x*10+c-48,c=getchar();return x*f;
10 }
11 int vis[MAXN];
12 int n,m;
13 int main()
14 {
15     n=read();m=read();
16     vis[1]=1;//1不是質數
17     for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)
18         for(int j=i*i;j<=n;j+=i)
19             vis[j]=1;
20     while(m--)
21     {
22         int p=read();
23         if(vis[p]==1)    printf("No\n");
24         else             printf("Yes\n");
25     }
26     return 0;
27 }

可是你會發現這份代碼只能得30分

看來這種算法仍是不夠優秀

下面咱們來探索一下他的優化

另外，這種算法的時間複雜度：$O(n*logn)$

埃拉託斯特尼篩法優化版

根據惟一分解定理

每個數均可以被分解成素數乘積的形式

那咱們枚舉的時候，只有在當前數是素數的狀況下，才繼續枚舉就好

這樣能夠保證每一個素數都會被篩出來

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cmath>
 3 using namespace std;
 4 const int MAXN=10000001;
 5 inline int read()
 6 {
 7     char c=getchar();int f=1,x=0;
 8     while(c<'0'||c>'9')    {if(c=='-')    f=-1;c=getchar();}
 9     while(c>='0'&&c<='9')    x=x*10+c-48,c=getchar();return x*f;
10 }
11 int vis[MAXN];
12 int n,m;
13 int main()
14 {
15     n=read();m=read();
16     vis[1]=1;//1不是質數
17     for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)
18         if(vis[i]==0)
19             for(int j=i*i;j<=n;j+=i)
20                 vis[j]=1;
21     while(m--)
22     {
23         int p=read();
24         if(vis[p]==1)    printf("No\n");
25         else             printf("Yes\n");
26     }
27     return 0;
28 }

果真，加了優化以後這種算法快了很多

能夠證實，它的複雜度爲：$O(n*log^{logn})$

這種算法已經很是優秀了，可是對於1e7這種極端數據，仍是有被卡的風險

那麼，還有沒有更快的篩法呢？

答案是確定的！

歐拉篩

咱們思考一下第二種篩法的運算過程

不難發現，對於6這個數，它被2篩了一次，又被3篩了一次

第二次篩顯然是多餘的，

咱們考慮去掉這步運算

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cmath>
 3 using namespace std;
 4 const int MAXN=10000001;
 5 inline int read()
 6 {
 7     char c=getchar();int f=1,x=0;
 8     while(c<'0'||c>'9')    {if(c=='-')    f=-1;c=getchar();}
 9     while(c>='0'&&c<='9')    x=x*10+c-48,c=getchar();return x*f;
10 }
11 int vis[MAXN],prime[MAXN];
12 int tot=0;
13 int n,m;
14 int Euler()
15 {
16     vis[1]=1;
17     for(int i=2;i<=n;i++)
18     {
19         if(vis[i]==0)    prime[++tot]=i;
20         for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;j++)
21         {
22             vis[i*prime[j]]=1;
23             if(i%prime[j]==0)    break;
24         }
25     }
26 }
27 int main()
28 {
29     n=read();m=read();
30     Euler();
31     for(int i=1;i<=m;i++)
32     {
33         int p=read();
34         if(vis[p]==1)    printf("No\n");
35         else             printf("Yes\n");
36     }
37     return 0;
38 }