算法之動態規劃（遞推求解一）

這篇博客主要講的是動態規劃入門，即動態規劃的思想，而且再講解動態規劃的最簡單的一個方法。

首先，什麼是動態規劃？

　　動態規劃是經過拆分問題，定義問題狀態和狀態之間的關係，使得問題可以以遞推（或者說分治）的方式去解決。其實就是分解問題，分而治之。可能這樣說你們都不太理解，其實這個有點相似於數學中的遞推公式。來舉一個簡單的例子，看下邊這個題：

　　N階樓梯上樓問題：一次能夠走兩階或一階，問有多少種上樓方式。

　　這就是動態規劃就簡單的一個列子。拿到這個題，你們是否是都有點迷，這個到底怎麼作？是否是沒有思路，那麼按照動態規劃思想，咱們能夠先分析下問題，每次都有兩種跳法，分別是一階或者兩階，那麼若是當前是第n個臺階，那麼跳法是否是是(n-1)臺階的跳法數加上(n-2)臺階的跳法數？若是划算成公式是F（n） =  F（n-1）+F（n-2）。F（n）表明第n階臺階的跳法的數量。

　　這不就至關於找到了一個遞推公式，而後來進行計算。具體的代碼實現以下（採用的是非遞歸）：

#include <stdio.h>    
     
int main()    
{    
        int i,N;    
        long long a[90];    
        while(~scanf("%d",&N))    
        {                 
                a[1]=1;    
                a[2]=2;    
                for(i=3;i<=N;i++)    
                        a[i]=a[i-1]+a[i-2];    
                printf("%lld\n",a[N]);    
        }    
             
        return 0;    
             
}   

 

下邊再舉一個列子來輔助理解：

　　n封信放入n個信封，要求所有放錯，共有多少种放法，記n個元素的錯排總數爲f(n)

　　對於這個題，咱們能夠採用和上述同樣的思路，咱們是否要考慮下找一個相似的遞推公式等來解決。思路以下：

　　在任意一種錯裝方案中，假設n號信封裏裝的是k號信封的信，而n號信封裏的信則裝在m號信封裏。咱們按照k和m的等值與否將總的錯裝方式分爲兩類。  若k不等於m，交換n號信封和m號信封的信後，n號信封裏裝的剛好是對應的信，而m號信封中錯裝k號信封裏的信，即除n號信封外其他n-1個信封 所有錯裝，其錯裝方式等於 F[n - 1]，又因爲m的n-1個可能取值，這類錯裝方式總數爲（n - 1）* F[n - 1]。也能夠理解爲，在 n-1個信封錯裝的 F[n - 1]種方式的基礎上，將n號信封所裝的信與n - 1個信封中任意一個信封（共有 n-1 中選 擇）所裝的信作交換後，獲得全部信封所有錯裝的方式數。另外一種狀況，若 k 等於 m，交換 n 號信封和 m 號信封的信後，n 號信封和 m 號信封裏裝的剛好是對應的信，這樣除它們以外剩餘的 n-2 個信封所有錯裝，其 錯裝方式爲 F[n - 2]，又因爲 m 的 n-1 個取值，這類錯裝方式總數爲（n - 1）* F[n - 2]。也能夠理解爲，在 n - 2 個信封所有錯裝的基礎上，交換最後兩個信封中的 信(n 號信封和 1 到 n-1 號信封中任意一個，共有 n-1 種選擇)，使全部的信封所有 錯裝的方式數。  綜上所述，F[n] = (n - 1) * F[n - 1] + (n - 1) * F[n - 2]。這就是錯排公式。

　　具體代碼以下：

#include <stdio.h>
Long long F[21]; //數值較大選用long long
int main () {
　　F[1] = 0;
　　F[2] = 1; //初始值
　　for (int i = 3;i <= 20;i ++)
　　　　F[i] = (i - 1) * F[i - 1] + (i - 1) * F[i - 2]; //遞推求得數列每個數字
　　int n;
　　while (scanf ("%d",&n) != EOF) {
　　　　printf("%lld\n",F[n]); //輸出
　　}
　　return 0;
}