Stirling數

第一類[編輯]

s(4,2)=11

第一類Stirling數是有正負的，其絕對值是 $n$ 個元素的項目分做 $k$ 個環排列的方法數目。經常使用的表示方法有 $s(n,k) , \left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]$ 。blog

換個較生活化的說法，就是有 $n$ 我的分紅 $k$ 組，每組內再按特定順序圍圈的分組方法的數目。例如 $s(4,2)$ ：遞歸

{A,B},{C,D}
{A,C},{B,D}
{A,D},{B,C}
{A},{B,C,D}
{A},{B,D,C}
{B},{A,C,D}
{B},{A,D,C}
{C},{A,B,D}
{C},{A,D,B}
{D},{A,B,C}
{D},{A,C,B}

這能夠用有向圖來表示。get

給定 $s(n,0)=0,s(1,1)=1$ ，有遞歸關係 $s(n+1,k)=s(n,k-1) + n \; s(n,k)$

遞推關係的說明：考慮第n+1個物品，n+1能夠單獨構成一個非空循環排列，這樣前n種物品構成k-1個非空循環排列，方法數爲s(n,k-1)；也能夠前n種物品構成k個非空循環排列，而第n+1個物品插入第i個物品的左邊，這有n*s(n,k)種方法。數學

$| s(n,1) | =(n-1)!$
$s(n,k) = (-1)^{n+k} | s(n,k) |$
$s(n,n-1) = - C(n,2)$
$s(n,2) = (-1)^n (n-1)!\; H_{n-1}$
$s(n,3) = \frac{1}{2} (-1)^{n-1} (n-1)! [ (H_{n-1})^2 - H_{n-1}^{(2)} ]$

$H_n^{(m)}$ 是調和數的推廣。it

$s(n,k)$ 是遞降階乘多項式的係數：io

$x^{\underline{n}}= x(x-1)(x-2)\ldots(x-n+1) = \sum_{k=1}^n s(n,k)x^k$

第二類

第二類Stirling數是 $n$ 個元素的集定義k個等價類的方法數目。經常使用的表示方法有 $S(n,k) , S_n^{(k)} , \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}$ 。

換個較生活化的說法，就是有 $n$ 我的分紅 $k$ 組的分組方法的數目。例若有甲、乙、丙、丁四人，若全部人分紅1組，只有全部人在同一組這個方法，所以 $S(4,1)=1$ ；若全部人分紅4組，只能夠人人獨立一組，所以 $S(4,4)=1$ ；若分紅2組，能夠是甲乙一組、丙丁一組，或甲丙一組、乙丁一組，或甲丁一組、乙丙一組，或其中三人同一組另外一人獨立一組，便是：class

{A,B},{C,D}
{A,C},{B,D}
{A,D},{B,C}
{A},{B,C,D}
{B},{A,C,D}
{C},{A,B,D}
{D},{A,B,C}

所以 $S(4,2)=7$ 。file

給定 $S(n,n)=S(n,1)=1$ ，有遞歸關係 $S(n,k) = S(n-1,k-1) + k S(n-1,k)$
遞推關係的說明：考慮第n個物品，n能夠單獨構成一個非空集合，此時前n-1個物品構成k-1個非空的不可辨別的集合，方法數爲S(n-1,k-1)；也能夠前n-1種物品構成k個非空的不可辨別的集合，第n個物品放入任意一箇中，這樣有k*S(n-1,k)種方法。
$S(n,n-1)=C(n,2)=n(n-1)/2$
$S(n,2)=2^{n-1} - 1$
$S(n,k) =\frac{1}{k!}\sum_{j=1}^{k}(-1)^{k-j} C(k,j) j^n$
$B_n=\sum_{k=1}^n S(n,k)$

$C(k,j)$ 是二項式係數，B_n是貝爾數。

二者關係

$\sum_{n=0}^{\max\{j,k \}} S(n,j) s(k,n) = \sum_{n=0}^{\max\{j,k \}} s(n,j) S(k,n) = \delta_{jk}$

$\delta_{jk}$ 是克羅內克爾

第一類[編輯]

第二類

第二類Stirling數是個元素的集定義k個等價類的方法數目。經常使用的表示方法有。

二者關係

第二類Stirling數是 $n$ 個元素的集定義k個等價類的方法數目。經常使用的表示方法有 $S(n,k) , S_n^{(k)} , \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}$ 。